Teorema della metrica limitata

In uno spazio metrico $(X, d)$ si può costruire una nuova metrica limitata $d'(x, y) = \min(d(x, y), 1)$ che induce la stessa topologia di $d$, quindi gli insiemi aperti definiti da $d$ e $d'$ coincidono.

In altre parole, viene definita una nuova metrica $d'(x, y)$ a partire dalla metrica $d(x, y)$ in uno spazio metrico $(X, d)$, dove:

$$d'(x, y) = \min(d(x, y), 1)$$

Le nuova metrica $d'(x, y)$ prende il valore di $d(x, y)$, a meno che non superi 1.  Questo rende la metrica $d'$ limitata, perché non può mai superare 1.

La metrica $d'$ induce la stessa topologia della metrica iniziale $d$.

Questo significa che gli insiemi aperti definiti da $d'$ sono gli stessi definiti da $d$. Quindi, la "forma" degli insiemi aperti nello spazio non cambia, anche se la metrica $d'$ è limitata.

Nota. In generale, potrei anche sostituire $1$ con qualsiasi altro valore $\varepsilon > 0$. $$d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon)$$ In questo caso le distanze non supererebbero $\varepsilon$ e le metriche indotte genererebbero la stessa topologia. Per semplicità, farò l'esempio con il limite fissato a $\varepsilon = 1$.

Un esempio pratico

Considero lo spazio $\mathbb{R}$ con la metrica standard:

$$d(x, y) = |x - y|$$

Poi definisco una nuova metrica limitata:

$$d'(x, y) = \min(|x - y|, 1)$$

Nella nuova metrica le distanze non possono superare 1.

Ad esempio, se prendo due punti $x = 2$ e $y = 5$, con la metrica originale la distanza è $d(2, 5) = |2 - 5| = 3$, ma con la nuova metrica limitata la distanza è $d'(2, 5) = \min(3, 1) = 1$.  Se invece $x = 2$ e $y = 2.5$, allora $d'(2, 2.5) = \min(|2 - 2.5|, 1) = 0.5$, che coincide con la metrica originale perché $|2 - 2.5| < 1$. In quest'altro caso la distanza è la  stessa ovvero $d = d' = 0.5$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\  \hline  2 & 5 & 3 & 1 \\  \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\  \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\  \hline \end{array}$$

La nuova metrica $d'$ "tronca" le distanze maggiori di 1, ma i concetti di vicinanza e insiemi aperti rimangono invariati, quindi la topologia indotta da $d$ e $d'$ è la stessa.

Perché la topologia rimane invariata?

Gli insiemi aperti della topologia sono definiti come unioni di open ball.

Anche se le open ball di $d'$ possono essere più piccole di quelle di $d$, posso sempre combinare più open ball di $d'$ per coprire un insieme aperto di $d$.

Ad esempio, considero una open ball $B_d(3, 2)$ centrata in $3$ con raggio $2$.

Questa open ball è l'insieme di tutti i punti $y \in \mathbb{R}$ tali che la distanza tra $x$ e $y$ è strettamente minore di $r = 2$, cioè:

$$B_d(x, r) = \{y \in \mathbb{R} \mid d(x, y) < r\}$$

In questo caso $x=3$ e $r = 2$

$$B_d(3, 2) = \{y \in \mathbb{R} \mid d(3, y) < 2\}$$

Nel caso della metrica standard ($d(x, y) = |x - y|$), la palla aperta $B_d(3, 2)$ include tutti i numeri reali $y$ che soddisfano:

$$|3 - y| < 2$$

La condizione $|3 - y| < 2$ si può riscrivere come:

$$-2 < 3 - y < 2$$

$$-2-3 < 3 - y -3 < 2-3$$

$$-5 <  - y < -1$$

$$-5 \cdot(-1) <  - y \cdot(-1) < -1 \cdot(-1)$$

$$1 < y < 5$$

Quindi, $B_d(3, 2)$ è l'intervallo aperto (1, 5) che contiene tutti i punti più vicini di $2$ unità a $3$ sulla retta reale.

$$B_d(3, 2) = (1, 5)$$

Ecco la rappresentazione grafica sulla retta dei numeri reali.

Per coprire l'intervallo $(1, 5)$ con $d'$, posso usare unioni di palle più piccole, come:

$$B_{d'}(2, 1) \cup B_{d'}(3, 1) = (4, 1)$$

La prima open ball copre l'intervallo (1,3), la seconda l'intervallo (2,4) e la terza l'intervallo (3,5) che coprono interamente l'interlvallo (1,5)

In questo modo, le metriche $d'$ e $d$ generano gli stessi insiemi aperti, quindi la topologia non cambia.

La dimostrazione

Devo dimostrare che $d'$ induce la stessa topologia di $d$.

Per prima dimostro che $d'$ è una metrica, perché soddisfa tutte le proprietà di una metrica:

• $d'(x, y) \geq 0$,
• $d'(x, y) = 0$ solo se $x = y$,
• $d'(x, y) = d'(y, x)$,
• $d'$ soddisfa la disuguaglianza triangolare.

A questo punto devo dimostrare che le topologie $T$ e $T'$ indotte rispettivamente da $d$ e $d'$ sono le stesse.

Procedo dimostrando che:

• La toipologia T è più fine di T'
• La topologia T' è più fine di T

A] Parte prima: T è più fine di T'

La topologia originale $T$ indotta da $d$ è più fine della topologia $T'$ indotta dalla metrica limitata $d'$ perché:

• Quando il raggio $r$ della palla è minore o uguale a 1 le due open ball centrate nello stesso punto $x$ usando le due metriche sono uguali. $$B_d(x,r) = B_{d'}(x,r)$$
• Quando il raggio $r$ della palla è maggiore di 1, la open ball della topologia originale è più grande di quella limitata. $$B_d(x,r) \supseteq B_{d'}(x,r)$$

Dire che $T$ è più fine di $T'$ vuol dire che ogni insieme aperto in T' è contenuto anche in T. Quindi, ogni insieme aperto in T' è aperto anche in T.

B] Parte seconda: T' è più fine di T

D'altra parte, vale anche l'inverso, anche la topologia T' è più fine della topologia T.

• Quando il raggio $r$ della palla è minore o uguale a 1 le due open ball centrate in $x$ con le due metriche sono uguali. $$B_d(x,r) = B_{d'}(x,r)$$
• Quando il raggio $r$ della palla è maggiore di 1, la open ball della topologia originale è più grande di quella limitata. $$B_d(x,r) \supseteq B_{d'}(x,r)$$ Tuttavia, sapendo che $B_{d'}(x, 1)$ è una palla aperta nella topologia $T'$ (indotta dalla metrica $d'$), posso costruire unioni di tante di queste palle per coprire qualsiasi insieme aperto di $T$ (indotta dalla metrica $d$). Poiché l'unione di insiemi aperti è ancora un insieme aperto, deduco che anche la topologia T' è più fine di T.

Questo dimostra che ogni insieme aperto in $T$ è anche aperto in $T'$, completando il ragionamento.

C] Conclusione

In conclusione, ho dimostrato che T è più fine di T' e T' è più fine di T, quindi T=T' sono la stessa topologia.

E così via.