La trasformata di Laplace del polinomio
La trasformata di Laplace del polinomio tk/k! è 1/sk+1 $$ L[ \frac{t^{k}}{k!}] = \frac{1}{s^{k+1}} $$
Questa trasformata è particolarmente utile, perché il polinomio con k diversi identifica il caso generale di alcune trasformate tipiche.
Gradino unitario (k=0)
$$ L[ 1] = \frac{1}{s} $$
Rampa unitaria (k=1)
$$ L[t] = \frac{1}{s^2} $$
Rampa parabolica (k=2)
$$ L[ \frac{t^2}{2}] = \frac{1}{s^3} $$
E via dicendo.
La dimostrazione
Questa trasformata di Laplace si dimostra con il teorema della trasformata dell'integrale.
La derivata della rampa parabolica è la rampa unitaria.
$$ D[ \frac{t^2}{2}] = t $$
La derivata della rampa unitaria è il gradino unitario
$$ D[t] = 1 $$
In generale, la derivata del polinomio tk/k! è
$$ D[ \frac{t^{k}}{k!}] = \frac{ t^{k-1}}{(k-1)!} $$
Pertanto, l'integrale del polinomio tk/k! è
$$ \int \frac{t^{k}}{k!} = \frac{t^{k+1}}{(k+1)!} $$
A questo punto, per trovare la relazione basta usare il teorema della trasformata di un integrale
$$ L[\int_{0}^{t} f(t) \: dt] = \frac{1}{s} F(s) $$
Esempio
Devo calcolare la trasformata di Laplace della rampa parabolica
$$ f(t) = \frac{t^2}{2} $$
La rampa parabolica è l'integrale della rampa unitaria f(t)=t
$$ f(t) = \frac{t^2}{2} = \int_{0}^{t} t \: dt $$
Calcolo la trasformata dell'integrale
$$ L[\int_{0}^{t} t \: dt] = \frac{1}{s} F(s) $$
La trasformata di Laplace della funzione integranda t è F(s)=1/s2
$$ L[\int_{0}^{t} t \: dt] = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s^2} $$
$$ L[\int_{0}^{t} t \: dt] = \frac{1}{s^3} $$
Il risultato è la trasformata di Laplace della rampa parabolica
$$ L[ \frac{t^2}{2}] = L[\int_{0}^{t} t \: dt] = \frac{1}{s^3} $$
E così via.
