Come risolvere equazione differenziale con la trasformata di Laplace
In questo esercizio utilizzo le trasformate di Laplace per risolvere l'equazione differenziale
$$ \frac{d^2y}{dt} + 3\frac{dy}{dt} + 2y(t)=(1+3t)u(t) $$
Dove le condizioni iniziali sono
$$ y(0)=1 $$
$$ y'(0) = \frac{dy}{dt} |_{t=0-} = 0 $$
Calcolo la trasformata di Laplace dell'equazione differenziale
$$ L[ \frac{d^2y}{dt} + 3\frac{dy}{dt} + 2y(t) ] = L[ (1+3t)u(t) ] $$
Per semplicità di calcolo riscrivo derivate della funzione y(t) nella notazione più semplice y, y' e y"
$$ L[ y" + 3 y' + 2 y(t) ] = L[ (1+3t)u(t) ] $$
Poi applico il teorema della somma per scorporare gli elementi dell'equazione
$$ L[ y" ]+ L[3 y' ]+ L[2y(t) ] = L[ (1+3t)u(t) ] $$
Utilizzo il teorema della trasformata della derivata sulla prima componente
$$sL[y']-y"(0)+ L[3 y' ]+ L[2y(t) ] = L[ (1+3t)u(t) ] $$
$$s(sY(s)-y'(0))-y"(0) + L[3 y' ]+ L[2y(t) ] = L[ (1+3t)u(t) ] $$
$$s^2·Y(s)-s·y'(0)-y"(0) + L[3 y' ]+ L[2y(t) ] = L[ (1+3t)u(t) ] $$
Sapendo che nelle condizioni iniziali per t=0 la derivata y'(0)=1
$$s^2 Y(s) -s + L[3 y' ]+ L[2y(t) ] = L[ (1+3t)u(t) ] $$
Applico il teorema della trasformata della derivata anche sulla seconda componente
$$s^2 Y(s) -s+ 3 \cdot ( sY(s) - y'(0) ) + L[2y(t) ] = L[ (1+3t)u(t) ] $$
$$s^2 Y(s) -s+ 3 \cdot ( sY(s) - 1 ) + L[2y(t) ] = L[ (1+3t)u(t) ] $$
$$s^2 Y(s)-s + 3sY(s) -3 + L[2y(t) ] = L[ (1+3t)u(t) ] $$
Poi calcolo la trasformata di Laplace della terza componente
$$s^2 Y(s)-s + 3sY(s) -3+ 2 \cdot L[y(t) ] = L[ (1+3t)u(t) ] $$
$$s^2 Y(s)-s + 3sY(s)-3 + 2 Y(s) = L[ (1+3t)u(t) ] $$
Effettuo la scomposizione della trasformata anche al secondo membro
$$s^2 Y(s)-s + 3sY(s) -3+ 2 Y(s) = L[ ( 1 \cdot u(t)] + L[ 3t \cdot u(t) ] $$
Nel primo caso è una trasformata tipica della costante 1
$$s^2 Y(s)-s + 3sY(s) -3+ 2 Y(s) = \frac{1}{s} + L·[ 3t \cdot u(t) ] $$
Nel secondo e ultimo caso è una trasformata tipica di una rampa non unitaria con pendenza t
$$s^2 Y(s)-s + 3sY(s) -3 + 2 Y(s) = \frac{1}{s} + 3 ·L[ t \cdot u(t) ] $$
$$s^2 Y(s)-s + 3sY(s) -3+ 2 Y(s) = \frac{1}{s} + 3 ·\frac{1}{s^2} $$
$$s^2 Y(s)-s + 3sY(s) -3+ 2 Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{3}{s^2} $$
Raggruppo per Y(s) nel primo membro
$$ Y(s) \cdot ( s^2 +3s +2) -s -3 = \frac{1}{s} + \frac{3}{s^2} $$
L'equazione libera
Calcolo l'evoluzione libera ponendo a zero il segnale di ingresso, ossia il membro di destra dell'equazione.
$$ Y(s) \cdot ( s^2 +3s +2) -s -3 = 0 $$
$$ Y(s) \cdot ( s^2 +3s +2) = s+3 $$
$$ Y(s) = \frac{s+3}{( s^2 +3s +2)} $$
A questo punto calcolo l'antitrasformata di entrambi i membri dell'equazione
$$ L^{-1}[Y(s)] = L^{-1}[\frac{s+3}{( s^2 +3s +2)}] $$
$$ y_0(t) = L^{-1}[\frac{s+3}{( s^2 +3s +2)}] $$
Non esiste una formula di trasformazione tipica.
Quindi, per svolgere l'anti-trasformata analizzo i poli dell'equazione caratteristica, ossia del polinomio al denominatore s2+3s+2.
I poli (radici) dell'equazione sono:
- p1=-1
- p2=-2
Sono poli semplici perché i poli sono diversi.
Lo sviluppo in somma di fratti semplici è
$$ F(s) = \frac{K_1}{s-p_1} + \frac{K_2}{s-p_2} $$
$$ F(s) = \frac{K_1}{s-(-1)} + \frac{K_2}{s-(-2)} $$
$$ F(s) = \frac{K_1}{s+1} + \frac{K_2}{s+2} $$
Ora calcolo i residui (K) sostituendo i poli a s
$$ K_1 = \frac{s+3}{s+2}|_{s=p_1=-1} = \frac{(-1)+3}{(-1)+2} = 2 $$
$$ K_2 = \frac{s+3}{s+1}|_{s=p_2=-2} = \frac{(-2)+3}{(-2)+1} = -1 $$
E ottengo l'antitrasformata
$$ y_0(t) = K_1 \cdot e^{p_1t} + K_2 \cdot e^{p_2 t} $$
$$ y_0(t) = 2 \cdot e^{-1t} - 1 \cdot e^{-2t} $$
L'equazione forzata
Per calcolare l'equazione forzata devo ricalcolare la trasformata dell'equazione differenziale y(t) con le condizioni iniziali nulle fino alla derivata di ordine n-1.
Dove n=2 in quanto la derivata di ordine più elevato nell'equazione differenziale è la derivata alla seconda.
$$ \begin{cases} y(0), y'(0), ... , y^{n-1}(0) = 0 \\ \\ \frac{d^2y}{dt} + 3\frac{dy}{dt} + 2y(t)=(1+3t)u(t) \end{cases} $$
La trasformata di Laplace dell'equazione differenziale è
$$ L[ \frac{d^2y}{dt} + 3\frac{dy}{dt} + 2y(t) ] = L[ (1+3t)u(t) ] $$
$$ L[ \frac{d^2y}{dt}] + L[3\frac{dy}{dt}] + L[ 2y(t) ] = L[ u(t)]+L[3tu(t) ] $$
Semplifico indicando soltanto y", y', y(t)
$$ L[y"] + L[3y'] + L[ 2y(t) ] = L[ u(t)]+L[3tu(t) ] $$
Utilizzo il teorema della trasformata della derivata sulla prima componente
$$sL[y']-y"(0)+ L[3 y' ]+ L[2y(t) ] = L[ u(t)]+L[3tu(t) ] $$
$$s(sY(s)-y'(0))-y"(0) + L[3 y' ]+ L[2y(t) ] =L[ u(t)]+L[3tu(t) ] $$
$$s^2·Y(s)-s·y'(0)-y"(0) + L[3 y' ]+ L[2y(t) ] = L[ u(t)]+L[3tu(t) ] $$
Sapendo che le condizioni iniziali y(0) e y'(0) sono nulle
$$s^2·Y(s) + L[3 y' ]+ L[2y(t) ] = L[ u(t)]+L[3tu(t) ] $$
Applico il teorema della trasformata della derivata sulla seconda componente
$$s^2 Y(s) + 3 \cdot ( sY(s) - y'(0) ) + L[2y(t) ] = L[ u(t)]+L[3tu(t) ] $$
$$s^2 Y(s) +3sY(s) - y'(0) + L[2y(t) ] = L[ u(t)]+L[3tu(t) ] $$
Sapendo che la condizione iniziale y'(0) è nulla
$$s^2 Y(s) +3 sY(s) + L[2y(t) ] = L[ u(t)]+L[3tu(t) ] $$
Poi calcolo la L-trasformata della terza componente
$$s^2 Y(s) +3 sY(s) + 2Y(s) = L[ u(t)]+L[3tu(t) ] $$
e delle componenti al secondo membro
$$s^2 Y(s) +3 sY(s) + 2Y(s) = \frac{1}{s}+ \frac{3}{s^2} $$
Metto in evidenza la Y(s) e ottengo l'equazione forzata
$$Y(s) \cdot ( s^2 +3 s + 2 ) = \frac{s+3}{s^2} $$
$$ Y(s) = \frac{s+3}{s^2( s^2 +3 s + 2 )} $$
A questo punto calcolo la L-trasformata
$$ L^{-1}[Y(s)] = L^{-1}[\frac{s+3}{s^2( s^2 +3 s + 2 )} ] $$
$$ y_1(t) = L^{-1}[\frac{s+3}{s^2( s^2 +3 s + 2 )} ] $$
Non esiste una formula di trasformazione tipica.
Quindi, per svolgere l'anti-trasformata studio i poli dell'equazione caratteristica, ossia del polinomio al denominatore.
$$ s^2( s^2 +3 s + 2 ) $$
L'equazione caratteristica deve essere fattorializzata
$$ s^2 \cdot ( s+1) \cdot (s+2) $$
e scritta in fratti semplici.
$$ \frac{K_{1,1}}{s^2} + \frac{K_{1,2}}{s} + \frac{K_2}{s+1} + \frac{K_3}{s+2} $$
Nota. Essendoci un fratto semplice non riducibile (s2), nell'equazione caratteristica devo sostituirlo con due fratti a potenza decrescente da 2 a 1 ossia K11/s2 + K12/s.
I poli (radici) dell'equazione dei fratti semplici sono:
- p1=0 (due volte)
- p2=-1
- p3=-2
Spiegazione. Per rendere più chiara la spiegazione, i poli sono nulli nei primi due fratti. Per questa ragione p1=0 compare due volte. $$ \frac{K_{1,1}}{s^2-p_1} + \frac{K_{1,2}}{s-p_1} + \frac{K_2}{s-p_2} + \frac{K_3}{s-p_3} $$ dove p1=0, p2=-1, p3=-3. $$ \frac{K_{1,1}}{s^2-0} + \frac{K_{1,2}}{s-0} + \frac{K_2}{s-(-1)} + \frac{K_3}{s-(-2)} $$ $$ \frac{K_{1,1}}{s^2} + \frac{K_{1,2}}{s} + \frac{K_2}{s+1} + \frac{K_3}{s+2} $$
Ora calcolo i residui (K) sostituendo i poli a s
$$ K_{11} = \frac{s+3}{(s+1)(s+2)}|_{s=p_1=0} = \frac{0+3}{(0+1)(0+2)} = \frac{3}{2}$$
$$ K_{12} = D[ \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} ] |_{s=p_1=0} = $$
$$ = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)} - \frac{(s + 3)}{(s + 1)(s + 2)^2} - \frac{s + 3}{(s + 1)^2(s + 2)} |_{s=p_1=0} = - \frac{7}{4} $$
Nota. Essendoci due poli uguali p1=0, devo applicare la formula dei poli multipli nel secondo caso. In pratica, per determinare K12 devo calcolare la derivata.
$$ K_{21} = \frac{s+3}{(s^2)(s+2)}|_{s=p_2=-1} = \frac{-1+3}{(-1)^2(-1+2)} = \frac{2}{1} = 2 $$
$$ K_{31} = \frac{s+3}{(s^2)(s+1)}|_{s=p_2=-2} = \frac{-2+3}{(-2)^2(-2+1)} = - \frac{1}{4} $$
Poi sostituisco i residui ai fratti
$$ \frac{K_{1,1}}{s^2} + \frac{K_{1,2}}{s} + \frac{K_2}{s+1} + \frac{K_3}{s+2} $$
$$ \frac{\frac{3}{2}}{s^2} - \frac{ \frac{7}{4}}{s} + \frac{2}{s+1} - \frac{\frac{1}{4}}{s+2} $$
$$ \frac{3}{2s^2} - \frac{7}{4s} + \frac{2}{s+1} - \frac{1}{4(s+2)} $$
In questa forma è più semplice calcolare l'antitrasformata di ogni singola componente
$$ y_1(t) = L^{-1 } [ \frac{3}{2s^2} - \frac{7}{4s} + \frac{2}{s+1} - \frac{1}{4(s+2)} ] $$
$$ y_1(t) = L^{-1 } [ \frac{3}{2s^2} ] - L^{-1 } [ \frac{7}{4s} ] + L^{-1 } [ \frac{2}{s+1} ] - L^{-1 } [ \frac{1}{4(s+2)} ] $$
$$ y_1(t) = \frac{3}{2} L^{-1 } [ \frac{1}{s^2} ] - \frac{7}{4} L^{-1 } [ \frac{1}{s} ] + 2 L^{-1 } [ \frac{1}{s+1} ] - \frac{1}{4} L^{-1 } [ \frac{1}{s+2} ] $$
Sono tutte anti-trasformate tipiche
$$ y_1(t) = \frac{3}{2} \cdot t - \frac{7}{4} + 2 e^{-t} - \frac{1}{4} e^{-2t} $$
Spiegazione. $$ L^{-1 } [ \frac{1}{s^2} ] = t $$ $$ L^{-1 } [ \frac{1}{s} ] = 1 $$ $$ L^{-1 } [ \frac{1}{s+1} ] = e^{-t} $$ $$ L^{-1 } [ \frac{1}{s+2} ] = e^{-2t} $$
La soluzione dell'equazione differenziale
Una volta trovata l'equazione libera (y0) e l'equazione forzata (y1)
$$ y_0(t) = 2 \cdot e^{-1t} - 1 \cdot e^{-2t} $$
$$ y_1(t) = \frac{3}{2} \cdot t - \frac{7}{4} + 2 e^{-t} - \frac{1}{4} e^{-2t} $$
le sommo tra loro per trovare la soluzione dell'equazione differenziale
$$ y(t) = y_0(t) + y_1(t) $$
$$ y(t) = 2 \cdot e^{-1t} - 1 \cdot e^{-2t} + \frac{3}{2} \cdot t - \frac{7}{4} + 2 e^{-t} - \frac{1}{4} e^{-2t} $$
Ho così risolto l'equazione differenziale con la trasformazione di Laplace
E così via.
