Le successioni limitate
Una successione si dice limitata se esiste un numero reale \( M > 0 \) tale che, per ogni \( n \in \mathbb{N} \), vale \[ |a_n| \le M \]
La limitatezza può essere distinta in due casi.
- Una successione si dice limitata superiormente se esiste un numero reale \( M \) tale che \[ a_n \le M \quad \text{per ogni } n \] In questo caso, tutti i termini della successione non superano un certo valore massimo.
- Una successione si dice limitata inferiormente se esiste un numero reale \( m \) tale che \[ a_n \ge m \quad \text{per ogni } n \] In questo caso, tutti i termini della successione sono maggiori o uguali a un certo valore minimo.
Una successione è limitata se e solo se è sia limitata superiormente sia limitata inferiormente.
Una successione che non è limitata si dice successione illimitata.
Esempi
Esempio 1
Questa successione è limitata superiormente
\[ a_n = \frac{1}{n} \]
perché tutti i termini della successione sono minori uguali a $ M=1 $
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \dots \]
Esempio 2
Questa successione è limitata inferiormente
\[ a_n = n \]
perché tutti i termini della successione sono maggiori-uguali a $ m=1 $
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots \]
Esempio 3
Questa successione è limitata
\[ a_n = (-1)^n \]
perché i valori restano compresi tra \( m= -1 \) e \( M= 1 \).
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \dots \
Esempio 4
Questa successione è Illimitata
\[ a_n = n^2 \]
In questo caso i valori crescono senza limite.
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \dots \]
Tutte le successioni convergenti sono limitate
Ogni successione che ammette un limite finito è anche limitata.
Pertanto, tutte le successioni convergenti sono limitate.
Nota. Esistono anche casi di successioni limitate non convergenti. Ad esempio questa successione è oscillante tra -1 e +1. Non converge, né diverge ma è limitata. $$ a_n = ( -1 )^n $$
Dimostrazione
Una successione an converge a l
$$ \lim_{ n \rightarrow ∞} a_n = l $$
Prendo un valore epsilon ε uguale a 1
$$ ε=1 $$
Secondo la definizione di limite esiste un valore v tale che
$$ |a_n-l|<1 \:\:\: \forall n>v $$
Sommo |l| in entrambi i membri
$$ |(a_n-l)+l|<1+|l| $$
considerando che an=|an+l-l|
$$ |a_n|<1+|l| $$
posso affermare che
$$ |a_n|< M $$
dove M è il valore massimo tra i termini della successione e 1+l
$$ M = max \{ |a_1|, |a_2|, ... , |a_n|, 1+|l| \} $$
E così via
