Le successioni limitate

Una successione è limitata se esiste un numero reale M tale che $$ | a_n | \le M $$

Ogni successione che ammette un limite finito è anche limitata.

Pertanto, tutte le successioni convergenti sono limitate.

Nota. Esistono anche casi di successioni limitate non regolari. Ad esempio questa successione è oscillante tra -1 e +1. Non converge, né diverge ma è limitata. $$ a_n = ( -1 )^n $$

Dimostrazione

Una successione an converge a l

$$ \lim_{ n \rightarrow ∞} a_n = l $$

Prendo un valore epsilon ε uguale a 1

$$ ε=1 $$

Secondo la definizione di limite esiste un valore v tale che

$$ |a_n-l|<1 \:\:\: \forall n>v $$

Sommo |l| in entrambi i membri

$$ |(a_n-l)+l|<1+|l| $$

considerando che an=|an+l-l|

$$ |a_n|<1+|l| $$

posso affermare che

$$ |a_n|< M $$

dove M è il valore massimo tra i termini della successione e 1+l

$$ M = max \{ |a_1|, |a_2|, ... , |a_n|, 1+|l| \} $$

E così via

 


 

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Le successioni in matematica