Le successioni limitate
Una successione è limitata se esiste un numero reale M tale che $$ | a_n | \le M $$
Ogni successione che ammette un limite finito è anche limitata.
Pertanto, tutte le successioni convergenti sono limitate.
Nota. Esistono anche casi di successioni limitate non regolari. Ad esempio questa successione è oscillante tra -1 e +1. Non converge, né diverge ma è limitata. $$ a_n = ( -1 )^n $$
Dimostrazione
Una successione an converge a l
$$ \lim_{ n \rightarrow ∞} a_n = l $$
Prendo un valore epsilon ε uguale a 1
$$ ε=1 $$
Secondo la definizione di limite esiste un valore v tale che
$$ |a_n-l|<1 \:\:\: \forall n>v $$
Sommo |l| in entrambi i membri
$$ |(a_n-l)+l|<1+|l| $$
considerando che an=|an+l-l|
$$ |a_n|<1+|l| $$
posso affermare che
$$ |a_n|< M $$
dove M è il valore massimo tra i termini della successione e 1+l
$$ M = max \{ |a_1|, |a_2|, ... , |a_n|, 1+|l| \} $$
E così via