La successione divergente
Una successione an è detta divergente (o infinita) se il limite è uguale a +∞. $$ \lim_{ n \rightarrow +∞ } a_n = +∞ $$ se per qualsiasi M>0 esiste un numero naturale v tale che an>M per ogni n>v. $$ \forall M>0, \exists v : a_n>M \:\: \forall n>v $$
Allo stesso modo è detta divergente anche se il limite è uguale a -∞
Una successione an è detta divergente negativamente se il limite è uguale a -∞. $$ \lim_{ n \rightarrow +∞ } a_n = -∞ $$ se per qualsiasi M>0 esiste un numero naturale tale che an<-M per ogni n>v. $$ \forall M>0, \exists v : a_n<-M \:\: \forall n>v $$
Qualche esempio pratico
Esempio 1
La successione x2
$$ a_n = x^2 $$
è divergente positivamente perché il limite per n che tende a infinito è più infinito
$$ \lim_{n \rightarrow +∞} x^2 = +∞ $$
I primi termini della successione. $$ a_n = \{ 1, 4, 9, 16, ... , +∞ \} $$
Se prendo il numero M=10 esiste il numero naturale v=3 (ossia av=a3=9) tale che per ogni n>3 si ha an>10.
Lo stesso vale per qualsiasi altro numero M>0.
Esempio 2
La successione 1-x2
$$ a_n = 1-x^2 $$
è divergente negativamente perché il limite per n che tende a infinito è meno infinito.
$$ \lim_{n \rightarrow +∞} 1-x^2 = -∞ $$
I primi termini della successione. $$ a_n = \{ 0, -3, -8, -15, ... , -∞ \} $$
Se prendo il numero M=10 esiste il numero naturale v=3 (ossia av=a3=-9) tale che per ogni n>3 si ha an<-M ossia an<-10.
Ad esempio, a4=-15<-10
E così via.