La successione divergente

Una successione an è detta divergente (o infinita) se il limite è uguale a +∞. $$ \lim_{ n \rightarrow +∞ } a_n = +∞ $$ se per qualsiasi M>0 esiste un numero naturale v tale che an>M per ogni n>v. $$ \forall M>0, \exists v : a_n>M \:\: \forall n>v $$

Allo stesso modo è detta divergente anche se il limite è uguale a -∞

Una successione an è detta divergente negativamente se il limite è uguale a -∞. $$ \lim_{ n \rightarrow +∞ } a_n = -∞ $$ se per qualsiasi M>0 esiste un numero naturale tale che an<-M per ogni n>v. $$ \forall M>0, \exists v : a_n<-M \:\: \forall n>v $$

    Qualche esempio pratico

    Esempio 1

    La successione x2

    $$ a_n = x^2 $$

    è divergente positivamente perché il limite per n che tende a infinito è più infinito

    $$ \lim_{n \rightarrow +∞} x^2 = +∞ $$

    I primi termini della successione. $$ a_n = \{ 1, 4, 9, 16, ... , +∞ \} $$
    esempio di successione divergente

    Se prendo il numero M=10 esiste il numero naturale v=3 (ossia av=a3=9) tale che per ogni n>3 si ha an>10.

    la rappresentazione grafica delle condizioni di una successione divergente

    Lo stesso vale per qualsiasi altro numero M>0.

    Esempio 2

    La successione 1-x2

    $$ a_n = 1-x^2 $$

    è divergente negativamente perché il limite per n che tende a infinito è meno infinito.

    $$ \lim_{n \rightarrow +∞} 1-x^2 = -∞ $$

    I primi termini della successione. $$ a_n = \{ 0, -3, -8, -15, ... , -∞ \} $$
    esempio di successione divergente negativamente

    Se prendo il numero M=10 esiste il numero naturale v=3 (ossia av=a3=-9) tale che per ogni n>3 si ha an<-M ossia an<-10.

    Ad esempio, a4=-15<-10

    la dimostrazione della successione divergente a meno infinito

    E così via.

     


     

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    Le successioni in matematica