Le successioni monotòne
Una successione è detta successione monotòna se si verifica una delle seguenti condizioni per ogni n ∈ N
- crescente
se ogni termine è maggiore o uguale al precedente $$ a_{n+1} \ge a_n $$ - strettamente crescente
se ogni termine è maggiore del precedente $$ a_{n+1} > a_n $$ - decrescente
se ogni termine è minore o uguale al precedente $$ a_{n+1} \le a_n $$ - strettamente decrescente
se ogni termine è minore del precedente $$ a_{n+1} < a_n $$ - costante
se ogni termine è uguale al precedente $$ a_{n+1} \le a_n $$
Le definizioni possono cambiare a seconda del testo di matematica.
Ad esempio, in alcuni libri le successioni crescenti/decrescenti sono dette crescenti/decrescenti in senso lato.
Nota. La successione è detta invece costante se ogni termine è uguale al precedente $$ a_{n+1} = a_n $$ Le successioni costanti sono un caso particolare delle successioni crescenti e decrescenti.
Un esempio pratico
Esempio 1
Questa successione è strettamente monotona decrescente
$$ a_n = \frac{1}{n} $$
perché per ogni n ∈ N
$$ a_{n+1} < a_n $$
$$ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} $$
Ecco l'andamento della successione sul diagramma cartesiano.
Esempio 2
Questa successione è strettamente monotona crescente
$$ a_n = \frac{n-1}{n} $$
perché per ogni n ∈ N
$$ a_{n+1} > a_n $$
ossia
$$ \frac{n-1+1}{n+1} > \frac{n-1}{n} $$
$$ \frac{n}{n+1} > \frac{n-1}{n} $$
$$ \frac{1}{n(n+1)} > 0 $$
Ecco l'andamento grafico della successione
Il teorema delle successioni monotone
Se una successione monotona è limitata, allora converge a un limite finito. Se è monotona e non è limitata, allora diverge a \( +\infty \) oppure a \( -\infty \).
Si distinguono due casi fondamentali.
1] Successione monotona limitata
Se una successione è monotona ed è anche limitata, allora converge. In altre parole:
- Se è crescente e ha un limite superiore, tende a un valore finito.
- Se è decrescente e ha un limite inferiore, tende a un valore finito.
2] Successione monotona illimitata
Se una successione monotona non è limitata, allora diverge. In particolare:
- Se è crescente e non è limitata superiormente, tende a \( +\infty \)
- Se è decrescente e non è limitata inferiormente, tende a \( -\infty \)
In altre parole, se la successione “sale ma ha un tetto”, si ferma, quindi converge. Se invece“sale senza limite”, continua all’infinito e diverge
Questo risultato è noto come teorema delle successioni monotone.
Nota. E' una proprietà molto importante perché permette di stabilire il comportamento di una successione senza calcolare esplicitamente il limite.
Esempio
Considero questa successione
\[ a_n = 1 - \frac{1}{n} \]
Questa successione è crescente perché \( \frac{1}{n} \) diminuisce per $ n \to \infty $.
Inoltre, è anche limitata superiormente da 1, perchè il primo termine è costante (1) mentre il secondo tende a zero.
$$ \lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n} = 1 $$
Pertanto, la successione è convergente.
Esempio 2
Ora considero una successione monotona illimitata.
\[ b_n = n \]
Questa successione è crescente e non è limitata superiormente.
\[ \lim_{n \to \infty} n = +\infty \]
Pertanto, è una successione divergente.
E così via.
