Teorema indipendenza lineare dei vettori 2
Dato uno spazio vettoriale V finitamente generato, se considero un insieme di generatori $$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, ...,\vec{v}_n \} $$ e un insieme di vettori linearmente indipendenti appartenenti a V $$ \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, ..., \vec{w}_p \} $$ allora $$ p \le n $$
In pratica, il numero di vettori linearmente indipendenti di V è sempre inferiore o uguale al numero dei vettori in un insieme di generatori di V.
La dimostrazione
Dato uno spazio vettoriale reale V, considero un insieme di generatori di V
$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, ...,\vec{v}_n \} $$
e un insieme di vettori linearmente indipendenti appartenenti a V
$$ \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, ..., \vec{w}_p \} $$
Qualsiasi vettore w ∈ V può essere generato dalla combinazione lineare dei generatori {v1,v2,...,vn}
$$ \vec{w}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + ... + \lambda_n \vec{v}_n $$
Per ipotesi w1 è linearmente indipendente.
Pertanto, almeno uno dei coefficienti λ≠0 deve essere diverso da zero. Altrimenti sarebbe linearmente dipendente.
Considero l'ultimo coefficiente λn≠0.
$$ \lambda_n \ne 0 $$
Essendo λn≠0 diverso da zero, divido entrambi i membri dell'equazione per λn
$$ \vec{w}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + ... + \lambda_{n-1} \vec{v}_{n-1} + \lambda_n \vec{v}_n $$
$$ \frac{1}{ \lambda_n} \vec{w}_1 = \frac{\lambda_1}{ \lambda_n} \vec{v}_1 + \frac{\lambda_2}{ \lambda_n} \vec{v}_2 + ... + \frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n} \vec{v}_{n-1} + \frac{\lambda_n}{ \lambda_n} \vec{v}_n $$
$$ \frac{1}{ \lambda_n} \vec{w}_1 = \frac{\lambda_1}{ \lambda_n} \vec{v}_1 + \frac{\lambda_2}{ \lambda_n} \vec{v}_2 + ... + \frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n} \vec{v}_{n-1} + \vec{v}_n $$
Poi ricavo il vettore vn
$$ \vec{v}_n = \frac{1}{ \lambda_n} \vec{w}_1 - \frac{\lambda_1}{ \lambda_n} \vec{v}_1 - \frac{\lambda_2}{ \lambda_n} \vec{v}_2 - ... - \frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n} \vec{v}_{n-1} $$
Sostituisco i coefficienti con un'altra lettera 1/λn=α1, λ1/λn=α2, λ2/λn=α3,..., λn-1/λn=αn,
$$ \vec{v}_n = \alpha_1 \vec{w}_1 - \alpha_2 \vec{v}_1 - \alpha_3 \vec{v}_2 - ... - \alpha_n \vec{v}_{n-1} $$
Quindi l'insieme di vettori {w1,v1,v2,...,vn-1} è ancora un insieme di generatori con lo stesso numero di vettori del precedente perché se sostituisco vn= α1 w1 + α2 v1 + α3 v2 +...+ αnvn-1 nella combinazione lineare di un generico vettore v dello spazio vettoriale V ottengo un altro insieme di generatori di V.
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + ... + \lambda_n \vec{v}_n $$
Sapendo che vn= α1 w1 + α2 v1 + α3 v2 +...+ αnvn-1
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + ... + \lambda_n ( \alpha_1 \vec{w}_1 - \alpha_2 \vec{v}_1 - \alpha_3 \vec{v}_2 - ... - \alpha_n \vec{v}_{n-1} ) $$
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + ... + \lambda_n \alpha_1 \vec{w}_1 - \lambda_n \alpha_2 \vec{v}_1 - \lambda_n \alpha_3 \vec{v}_2 - ... - \lambda_n \alpha_n \vec{v}_{n-1} $$
$$ \vec{v} = ( \lambda_1 - \lambda_n \alpha_2 ) \vec{v}_1 + ( \lambda_2 - \lambda_n \alpha_3 ) \vec{v}_2 + ... + (\lambda_{n-1} - \lambda_n \alpha_n ) \vec{v}_{n-1} + ( \lambda_n \alpha_1) \vec{w}_1 $$
Sostituisco i coefficienti con un'altra lettera λ1-λnα2=β1, ecc.
$$ \vec{v} = \beta_1 \vec{v}_1 + \beta_2 \vec{v}_2 + ... + \beta_{n-1} \vec{v}_{n-1} + \beta_n \vec{w}_1 $$
Quindi il vettore v è una combinazione di di n vettori {w1,v1,v2,...,vn-1}
A questo punto posso ripetere lo stesso procedimento, ipotizzo che βn-1≠0 e sostituisco vn-1 con w2
Poi sostituisco vn-2 con w3 e via dicendo... fino a sostituire v1 con wn
Alla fine, una volta sostituiti tutti i vettori generatori, ottengo un insieme di generatori {w1,w2,...,wn}
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{w}_1 + \lambda_2 \vec{w}_2 + ... + \lambda_{n-1} \lambda{w}_{n-1} + \lambda_n \vec{w}_n $$
Sapendo che i vettori linearmente indipendenti dell'ipotesi iniziale erano p vettori
$$ \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, ...,\vec{w}_p \} $$
Se p>n ci sarebbero dei vettori wn+1, wn+2, ... , wp non presenti nell'insieme dei generatori {w1,w2,...,wn}
$$ \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2 , ... , \vec{w}_n, \color{red}{ \vec{w}_{n+1} }, \color{red}{ \vec{w}_{n+2} }, ..., \color{red}{ \vec{w}_{p} } \} $$
Quindi potrei generare il vettore wn+1 con la combinazione lineare {w1,w2,...,wn} dei generatori
$$ \vec{w}_{n+1} = \lambda_1 \vec{w}_1 + \lambda_2 \vec{w}_2 + ... + \lambda_{n-1} \lambda{w}_{n-1} + \lambda_n \vec{w}_n $$
Il vettore wn+1 è linearmente dipendente da {w1,w2,...,wn}
Tuttavia questo contraddice l'ipotesi iniziale in base alla quale i vettori {w1,w2,...,wp} sono linearmente indipendenti.
Se p>n non è vero, allora è vero il suo contrario ossia p≤n.
In conclusione, se lo spazio vettoriale V ha p vettori linearmente indipendenti, allora il numero n dei vettori di qualsiasi generatore di V deve essere uguale a p o superiore a p.
$$ n \le p $$
E così via.
