Studio della serie $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k(k+1)} $
Devo studiare il carattere della serie:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k(k+1)} $$
Il termine generale della serie è:
$$ a_k = \frac{(-1)^k}{k(k+1)} $$
Si tratta di una serie alternata, perché il segno dei termini cambia al variare di $k$ a causa del fattore $(-1)^k$.
Il criterio di Leibniz per le serie alterne afferma che la serie
$$ \sum_{k=1}^\infty (-1)^k b_k $$
con $b_k \ge 0$, converge se:
- $b_k$ è decrescente: $b_{k+1} \le b_k$ per ogni $k \ge k_0$,
- $\lim_{k \to \infty} b_k = 0$.
In questo caso il limite del termine generale $ b_k = \frac{1}{k(k+1)} > 0 $ è zero
$$ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k(k+1)} = 0 $$
Per verificare la monotonia decrescente verifico se $ b_k > b_{k+1} $
$$ b_k = \frac{1}{k(k+1)} $$
$$ b_{k+1} = \frac{1}{(k+1)(k+2)} $$
Confronto i due termini successivi:
$$ \frac{1}{k(k+1)} > \frac{1}{(k+1)(k+2)} $$
Per qualsiasi $ k $ vale la relazione $ b_k > b_{k+1} $ quindi il termine $b_k$ è decrescente.
Questo significa che la serie è convergente per il criterio di Leibniz.
E' una convergenza assoluta?
Ora verifico se la serie è assolutamente convergente:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{k(k+1)} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} $$
Scompongo la frazione di polinomi in una somma di frazioni parziali:
$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} $$
Dove A e B sono i numeri che devo trovare.
$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A(k+1) + Bk}{k(k+1)} $$
Ora eguaglio i numeratori
$$ 1 = A(k+1) + Bk $$
$$ 1 = Ak+ A + Bk $$
$$ 1 = k(A+B)+ A $$
Poiché nel membro di sinistra $ k = 0$ mentre il termine noto è 1, deduco che $ A+B=0 $ e $ A=1 $
$$ \begin{cases} A+B=0 \\ \\ A = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 1+B=0 \\ \\ A = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B=-1 \\ \\ A = 1 \end{cases} $$
Quindi $ A=1 $ e $ B=-1 $
$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} $$
$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} + \frac{(-1)}{k+1} $$
$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $$
In questa forma equivalente la serie diventa:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) $$
È una serie telescopica, e si semplifica così:
$$ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots
= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \cdots = 1 $$
Quindi la serie converge assolutamente.
E così via.
