Teoremi di unicità degli zeri di una funzione
I teoremi di unicità degli zeri permettono di stabilire se una funzione si annulla in un solo punto di un determinato intervallo.
A questo scopo, individuano alcune condizioni sufficienti basate sulla continuità della funzione, sul segno dei valori agli estremi dell'intervallo e sul comportamento delle sue derivate.
Nota. A differenza del teorema di esistenza degli zeri, che garantisce la presenza di almeno uno zero in un intervallo senza escludere che ve ne siano altri, i teoremi di unicità assicurano, sotto opportune condizioni, che la funzione si annulli in un solo punto dell'intervallo.
Esistono due teoremi di unicità degli zeri.
Primo teorema di unicità dello zero
Sia \(f\) una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato \([a,b]\) e derivabile in ogni suo punto interno. Se la derivata \(f'(x)\) non si annulla mai in \((a,b)\) e i valori \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segno opposto, allora esiste un unico punto \(c\in(a,b)\) in cui la funzione si annulla: \[ \exists!\,c\in(a,b)\quad\text{tale che}\quad f(c)=0. \]
La condizione \(f'(x)\neq 0\) garantisce che la funzione sia strettamente monotona, ossia sempre crescente oppure sempre decrescente.
Di conseguenza, il suo grafico può intersecare l'asse delle ascisse al massimo una volta.
Poiché i valori agli estremi hanno segno opposto e la funzione è continua, l'intersezione esiste ed è unica.
Esempio
Considero questa funzione nell'intervallo \( [0,2] \).
\[ f(x)=x^3+x-2 \]
La funzione è continua e derivabile in tutto l'intervallo.
\[ f'(x)=3x^2+1 \]
Per ogni punto interno \(x\in(0,2) \) la derivata prima della funzione è positiva, quindi non si annulla mai.
\[ f'(x)=3x^2+1>0 \]
Inoltre, agli estremi assume valori di segno opposto:
\[ f(0)=-2<0,\qquad f(2)=8>0 \]
Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del primo teorema di unicità.
Pertanto, la funzione possiede un unico zero nell'intervallo \((0,2) \), precisamente \(x=1\), poiché \(f(1)=0 \).
Dimostrazione
Suppongo per assurdo che esistano due zeri distinti.
Poiché la funzione è continua nell'intervallo \([a,b]\) e assume valori di segno opposto agli estremi, per il teorema di esistenza degli zeri (Bolzano) esiste almeno un punto \(c\in(a,b)\) tale che
\[ f(c)=0 \]
Se esiste anche un secondo zero \(c'\), distinto da \(c\), posso assumere, senza perdere generalità, che \(c<c'\). Avrei quindi
\[ f(c)=f(c')=0 \]
La funzione è continua nell'intervallo \([c,c']\), derivabile in \((c,c')\) e assume lo stesso valore agli estremi.
Sono quindi soddisfatte le ipotesi del teorema di Rolle, secondo il quale esiste almeno un punto \(m\in(c,c')\) tale che
\[ f'(m)=0 \]
Questo risultato contraddice l'ipotesi iniziale del primo teorema di unicità, secondo cui la derivata prima non si annulla mai nell'intervallo \((a,b)\):
\[ f'(x)\neq 0 \qquad \forall x\in(a,b) \]
Poiché \((c,c')\) è contenuto in \((a,b)\), non può esistere un punto \(m\) in cui la derivata si annulli.
Pertanto, l'ipotesi dell'esistenza di due zeri distinti è falsa.
La funzione possiede quindi uno e un solo zero nell'intervallo \((a,b)\).
Nota. La distinzione fondamentale è che il teorema di Bolzano garantisce l'esistenza di almeno uno zero, mentre il teorema di Rolle permette di dimostrare che non possono essercene due.
Secondo teorema di unicità dello zero
Sia \(f\) una funzione continua nell’intervallo \([a,b]\) e derivabile due volte in \((a,b)\). Se i valori \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segno opposto e la derivata seconda è sempre positiva oppure sempre negativa nell’intervallo aperto, allora la funzione possiede un unico zero tra \(a\) e \(b\): \[ \exists!\,c\in(a,b)\quad\text{tale che}\quad f(c)=0. \]
La condizione che la derivata seconda sia sempre positiva oppure sempre negativa garantisce che la funzione sia strettamente convessa oppure strettamente concava.
Anche se la funzione non è necessariamente monotona, la sua curvatura, insieme ai valori di segno opposto agli estremi dell'intervallo, assicura che il grafico intersechi l'asse delle ascisse una sola volta.
In questo caso non occorre studiare la derivata prima. È però fondamentale che la derivata seconda mantenga un segno strettamente positivo oppure strettamente negativo in tutto l'intervallo considerato, come richiesto dal teorema.
Esempio
Considero questa funzione nell'intervallo \([0,3]\).
\[ f(x)=x^2-4 \]
La funzione è continua e derivabile due volte in tutto l'intervallo.
\[ f'(x)= 2x \]
\[ f''(x)= 2 \]
Per ogni \(x\in(0,3)\) la derivata seconda è sempre positiva-
\[ f''(x)=2>0 \]
Inoltre, agli estremi assume valori di segno opposto:
\[ f(0)=-4<0,\qquad f(3)=5>0 \]
Sono quindi soddisfatte tutte le ipotesi del secondo teorema di unicità.
Pertanto, la funzione possiede un unico zero nell'intervallo \((0,3)\), precisamente \(x=2\), poiché \(f(2)=0\).
Nota. Il teorema garantisce l'unicità dello zero soltanto nell'intervallo considerato, senza escludere che la funzione possa avere altri zeri al di fuori di esso. Ad esempio, la funzione \(f(x)=x^2-4\) possiede un unico zero nell'intervallo \([0,3]\), ma nell'intervallo più ampio \([-3,3]\) ha due zeri, \(x=-2\) e \(x=2\). Questo non contraddice il teorema, perché nell'intervallo \([-3,3]\) i valori della funzione agli estremi hanno lo stesso segno. Pertanto, non è soddisfatta una delle condizioni richieste per garantire l'unicità dello zero.
Dimostrazione
Per semplicità, considero il caso in cui
\[ f(a)>0,\qquad f(b)<0,\qquad f''(x)>0 \]
Gli altri casi si dimostrano in modo analogo.
In questo caso la derivata seconda è positiva
\[ f''(x)>0 \]
Poichè la derivata seconda misura la variazione della derivata prima, essendo \( f''(x)>0 \) deduco che la derivata prima è strettamente crescente in tutto l'intervallo.
Questo significa che, procedendo da sinistra verso destra, la pendenza della funzione aumenta continuamente.
Si possono verificare tre casi.
- Primo caso: la derivata prima è sempre positiva \[ f'(x)>0 \qquad \forall x\in(a,b) \] Quindi, la funzione è strettamente crescente. Ma questo è impossibile, perché ho supposto tra le ipotesi iniziali che \[ f(a)>0,\qquad f(b)<0 \] Una funzione crescente non può partire da un valore positivo e arrivare a un valore negativo. Pertanto, questo caso è escluso.
- Secondo caso: la derivata prima è sempre negativa. \[ f'(x)<0 \qquad \forall x\in(a,b) \] Quindi, la funzione è strettamente decrescente. Poiché i valori agli estremi hanno segno opposto \( f(a) \cdot f(b) = -1 \) e la derivata prima non si annulla mai \( f'(x)<0 \) nell'intervallo, posso applicare il primo teorema di unicità degli zeri. Quindi, la funzione possiede un unico zero \( f(x)=0 \) nell'intervallo \((a,b)\).
- Terzo caso: la derivata prima si annulla in un punto \(m\in(a,b)\). \[ f'(m)=0 \] Poiché la derivata prima \(f'\) è strettamente crescente, allora \( f'(x)<0 \) è negativa prima di \( m \) e \( f'(x)>0 \) positiva dopo \( m \). \[ f'(x)<0 \quad \text{per }x<m \] \[ f'(x)>0 \quad \text{per }x>m \] Questo vuol dire che la funzione decresce nell'intervallo \( [a,m] \) e cresce nell'intervallo \( [m,b] \). Il punto \(m\) è dunque un minimo.
Questo caso è possibile anche se \(f(a)>0\) e \(f(b)<0\). Infatti, dopo aver raggiunto il minimo, la funzione può tornare a crescere senza necessariamente diventare positiva. Vediamo perché anche in questa situazione lo zero è unico. Poiché la funzione è strettamente crescente in \([m,b]\), ossia dopo il minimo, deduco che \[ f(m)<f(b) \] Ma so anche che \(f(b)<0\). Pertanto, ottengo la relazione seguente: \[ f(m)<f(b)<0 \] Questo significa che la funzione rimane negativa in tutto l'intervallo \([m,b]\). Di conseguenza, non possono esistere zeri nell'intervallo \([m,b]\). A questo punto analizzo l'intervallo \([a,m]\), ossia l'intervallo prima del minimo. In questo intervallo la funzione è strettamente decrescente, perché \[ f'(x)<0 \] Inoltre, agli estremi ho \[ f(a)>0,\qquad f(m)<0 \] Sono quindi soddisfatte le ipotesi del primo teorema di unicità dello zero. Esiste pertanto un unico punto \(c\in(a,m)\) tale che \[ f(c)=0 \] Poiché ho già dimostrato che nell'intervallo \([m,b]\) non esistono altri zeri, posso concludere che la funzione possiede un unico zero nell'intero intervallo \((a,b)\).
In conclusione, nei tre casi esaminati, il primo è impossibile, mentre negli altri due la funzione possiede esattamente uno zero.
Pertanto, sotto le ipotesi del secondo teorema esiste un unico zero nell'intervallo \( (a,b) \),
\[ \exists!\,c\in(a,b):f(c)=0 \]
Come volevasi dimostrare.
E così via.
