Esercizio sulle basi degli spazi vettoriali 3
Nello spazio vettoriale V=R3 di dimensione dim(V)=3 trovare una base a partire dai vettori v1=(3,-7,5) e v2=(2,6,-5).
La soluzione
Lo spazio vettoriale V ha dimensione dim(V)=3
$$ \dim(V)=3 $$
Pertanto, due soli vettori non bastano per formare una base.
$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix} $$
Per prima cosa devo verificare che siano due vettori linearmente indipendenti tra loro perché, se non lo fossero sarebbe impossibile trovare una base dello spazio vettoriale V con entrambi i vettori v1 e v2 all'interno.
Due vettori sono linearmente indipendenti se la loro combinazione lineare è uguale al vettore nullo se e solo se i coefficienti sono nulli (combinazione lineare banale)
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_1 \vec{v}_1 = \vec{0} $$
$$ k_1 \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix}_1 + k_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} 3k_1 \\ -7k_1 \\ 4k_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2k_2 \\ 6k_2 \\ -5k_2 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} 3k_1+2k_2 \\ -7k_1+6k_2 \\ 4k_1 -5k_2 \end{pmatrix} = 0 $$
Trasformo il sistema vettoriale in un sistema di equazioni omogeneo
$$ \begin{cases} 3k_1+2k_2 = 0 \\ -7k_1+6k_2 = 0 \\ 4k_1 -5k_2 = 0 \end{cases} $$
Il sistema di equazione omogeneo ha sempre la soluzione banale (k1=0, k2=0).
Il rango della matrice dei coefficienti è uguale a due.
$$ rk \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -7 & 6 \\ 4 & -5 \end{pmatrix} = 2 $$
Verifica. Esiste un minore non nullo di dimensione due $$ \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -5 \end{pmatrix} = 3 \cdot (-5) - 2 \cdot 4 = -15 - 8 = -23 $$
Il sistema di equazioni ha n=2 variabili.
Per il teorema di Rouché-Capelli ha una sola soluzione. In questo caso è la soluzione banale.
$$ |S| = \infty^{n-r} = \infty^{2-2} = \infty^{0} = 1 $$
Pertanto, i due vettori v1 e v2 sono linearmente indipendenti.
A questo punto devo verificare che siano anche dei generatori dello spazio vettoriale V.
Essendo solo due vettori, non possono essere un sistema di generatori di uno spazio vettoriale di dimensione dim(V)=3.
Per ottenere un sistema di generatori devo aggiungere un altro vettore.
Considero un vettore a caso scegliendo tra i più semplici possibili v3=(1,0,0) o v3(0,1,0) oppure v3(0,0,1)
Scelgo v3=(1,0,0)
$$ \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Ora l'insieme dei vettori è composto da
$$ \{ \vec{v}_1 \ , \ \vec{v}_2 \ , \ \vec{v}_3 \ \} $$
A questo punto devo verificare se i tre vettori sono linearmente indipendenti
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v}_3 = \vec{0} $$
$$ k_1 \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} 3k_1 \\ -7k_1 \\ 4k_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2k_2 \\ 6k_2 \\ -5k_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k_3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} 3k_1+2k_2+k_3 \\ -7k_1+6k_2 \\ 4k_1-5k_2 \end{pmatrix} = 0 $$
Trasformo il sistema vettoriale in un sistema di equazioni equivalente
$$ \begin{cases} 3k_1+2k_2+k_3=0 \\ -7k_1+6k_2=0 \\ 4k_1-5k_2=0 \end{cases} $$
Si tratta di un sistema di equazioni lineari omogeneo.
Il sistema ha sicuramente la soluzione banale (k1=0, k2=0, k3=0)
Verifico se ha anche altre soluzioni.
La matrice dei coefficienti del sistema ha rango uguale a tre.
Verifica. Il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero $$ \det \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ -7 & 6 & 0 \\ 4 & -5 & 0 \end{pmatrix} = 35 -24 = 11 $$
Il sistema ha n=3 variabili indipendenti.
Per il teorema di Rouché-Capelli ha una sola soluzione. In questo caso c'è già una soluzione ed è la soluzione banale.
$$ |S| = \infty^{n-r} = \infty^{3-3} = \infty^{0} = 1 $$
Pertanto, i tre vettori v1, v2 e v3 sono linearmente indipendenti.
Poiché lo spazio vettoriale è di dimensione dim(V)=3, posso dedurre che i tre vettori linearmente indipendenti sono una base dello spazio vettoriale.
E così via.
