Moto circolare uniforme

Cos'è il moto circolare uniforme

Il moto circolare uniforme è un moto circolare con velocità (v) e velocità angolare (ω) costante.

Le formule

In questa tabella ho riepilogato le formule più importanti del moto circolare uniforme, dal punto di vista degli angoli e degli archi.

Angoli Archi
Legge oraria $$ θ(t) = ωt + θ_0 $$ $$ s(t) = θ(t) \cdot R $$ $$ s(t) = s_0 + v \cdot t $$
Velocità $$ ω(t) = ω_0 $$ $$ v = v_0 = ω_0 \cdot R $$
Accelerazione $$ α = 0 $$ $$ a = ω_0^2 \cdot R = \frac{v^2}{R} $$

Il periodo

Il moto circolare è un moto periodico con periodo T pari al tempo necessario per compiere un giro completo della circonferenza (2πR).

$$ T = \frac{2πR}{v} $$

Dove v è la velocità di spostamento del corpo materiale lungo la traiettoria circolare s(t).

il moto circolare

Dimostrazione. L'arco s(t) indica lo spazio percorso dal punto materiale sulla traiettoria. In un giro completo lo spazio percorso è pari alla circonferenza $$ S = 2πR $$ La formula della velocità di un corpo è lo spazio diviso il tempo. $$ V = \frac{S}{T} $$ che nel moto circolare diventa $$ V = \frac{S}{T} = \frac{2πR}{T} $$

In alternativa posso calcolare il periodo dalla velocità angolare (ω)

$$ T = \frac{2π}{ω} $$

Il risultato è sempre lo stesso, perché è un modo diverso per misurare lo stesso fenomeno

Dimostrazione. La velocità angolare (ω) è in stretta relazione con la velocità (v). $$ v = ωR $$ Quindi, è sufficiente sostituire v con ωR alla prima formula per ottenere la seconda. $$ T = \frac{2πR}{V} = \frac{2πR}{ωR} = \frac{2π}{ω} $$

Dimostrazione alternativa. Nell'istante t=0 il punto materiale si trova in un punto qualsiasi della circonferenza con la fase iniziale θ0. $$ θ(0) = θ_0 $$ Per compiere un giro completo impiega un periodo T, al termine del quale la fase è $$ θ(T) = ωT + θ_0 $$ Sapendo che T è un periodo completo, allora ωT=2π ossia 360° $$ φ(T) = 2π + θ_0 $$ Pertanto, le due equazioni sono uguali $$ ωT + θ_0 = 2π + θ_0 $$ Semplifico eliminando la fase θ0 da ambo i membri $$ ωT = 2π $$ E metto in evidenza il periodo T $$ T = \frac{2π}{ω} $$

La legge oraria

Come gli altri moti circolari anche il moto circolare ha due leggi orarie alternative.

  • La legge oraria sulla circonferenza

    $$ s(t)=s_0+v \cdot t $$

    Dove s0 è la posizione iniziale sulla circonferenza nell'istante iniziale t=0, mentre v è la velocità (costante) dello spostamento del punto materiale sull'arco della circonferenza.
  • La legge oraria dell'angolo

    $$ θ(t)=θ_0+ω \cdot t $$

    La costante θ0 è, invece, l'angolo nell'istante iniziale t=0, mentre ω è la velocità angolare (costante) della variazione dell'angolo θ.

    L'angolo θ(t) moltiplicato per il raggio R mi permette anche di misurare lo spazio percorso sull'arco di circonferenza $$ s(t) = θ(t) \cdot R $$

Qual è la differenza tra le due leggi orarie? La prima legge oraria s(t) misura lo spazio percorso sulla circonferenza nell'istante t a partire dalla posizione iniziale (s0) ossia l'arco (rosso). La seconda legge, invece, misura l'angolo θ(t) del raggio R che congiunge l'origine e il punto materiale sulla circonferenza nell'istante t. Nel grafico è l'angolo di colore viola.
le coordinate cartesiane del punto nel moto circolare

I moti componenti

Le proiezioni delle coordinate x,y del punto materiale sugli assi cartesiani sono:

$$ x = R \cos θ = R \cdot \cos (ωt+θ_0) $$

$$ y = R \sin θ = R \cdot \sin (ωt+θ_0) $$

Le proiezioni di x e y sono due moti armonici con un periodo T coincidente a quello del moto circolare uniforme.

I due moti hanno la stessa ampiezza e la stessa fase iniziale θ0.

Sono però sfasati tra loro di 90° ossia π/2.

Perché le proiezioni x, y sono sfasate di 90°? La componente x dipende dal coseno mentre la componente y dal seno. Quindi, essendo la stessa la fase iniziale (θ0), per ogni angolo θ=ωt+θ0 ci sarà sempre una differenza di 90° tra le due componenti x, y.

La velocità

Nel moto circolare uniforme la velocità (v) e la velocità angolare (ω) sono costanti. $$ v = v_0 = ω_0 \cdot R $$

Per velocità costante si intende il modulo della velocità.

Il vettore velocità, invece, varia perché è composto anche dalla direzione e dal verso, oltre che dal modulo.

Esempio. Questi due punti del moto circolare uniforme sono associati a due vettori v e v'. I due vettori sono diversi perché hanno direzione e verso differenti, pur avendo la stessa lunghezza (modulo) ossia |v|. Pertanto, nel moto circolare uniforme i vettori velocità sono diversi nel tempo. E' il modulo dei vettori |v| ossia la lunghezza a essere costante.
la velocità nel moto circolare

Dimostrazione

Il vettore velocità v è composto dalla somma dei vettori vx e vy che indicano lo spostamento sugli assi.

$$ \vec{v} = \vec{v_x} + \vec{v_y} $$

$$ \vec{v} = v_x \cdot i + v_y \cdot j $$

In quest'ultima forma i e j sono i versori mentre vx e vy sono scalari.

Sapendo che la velocità è la derivata dello spostamento (legge oraria) posso riscrivere gli scalari vx e vy in questo modo

$$ v_x = \frac{d \: x}{dt} $$

$$ v_y = \frac{d \: y}{dt} $$

Sostituisco le componenti x=R·cos θ e y=R·sin θ.

$$ v_x = \frac{d \: [R \cdot \cos θ]}{dt} $$

$$ v_y = \frac{d \: [R \cdot \sin θ]}{dt} $$

Sapendo che l'angolo θ=ω0t+θ0

$$ v_x = \frac{d \: [R \cdot \cos (ω_0t+θ_0)]}{dt} $$

$$ v_y = \frac{d \: [R \cdot \sin (ω_0t+θ_0)]}{dt} $$

Poi calcolo le derivate.

Si tratta di due derivate di funzioni composte.

$$ v_x = \frac{d \: [R \cdot \cos (ω_0t+θ_0)]}{dt} = - R ω_0 \cdot \sin (ω_0t+θ_0) $$

$$ v_y = \frac{d \: [R \cdot \sin (ω_0t+θ_0)]}{dt} = R ω_0 \cdot \cos (ω_0t+θ_0) $$

Tornando alla somma vettoriale

$$ \vec{v} = v_x \cdot i + v_y \cdot j $$

Bisogna fare attenzione e non confondersi.

Essendo una somma vettoriale (i e j sono versori) per calcolare il modulo (lunghezza) del vettore velocità devo usare il teorema di Pitagora.

$$ | v | = \sqrt{v_x^2+v_y^2} $$

Sostituisco gli scalari vx e vy

$$ | v | = \sqrt{[ - R ω_0 \cdot \sin (ω_0t+θ_0) ]^2+[ R ω_0 \cdot \cos (ω_0t+θ_0) ]^2} $$

$$ | v | = \sqrt{R^2 ω_0^2 \cdot \sin^2 (ω_0t+θ_0) + R^2 ω_0^2 \cdot \cos^2 (ω_0t+θ_0) } $$

$$ | v | = \sqrt{R^2 ω_0^2 \cdot [ \sin^2 (ω_0t+θ_0) + \cos^2 (ω_0t+θ_0) ] } $$

In trigonometria la somma sin2+cos2=1

$$ | v | = \sqrt{R^2 ω_0^2 \cdot 1 } $$

$$ | v | = \sqrt{R^2 ω_0^2 } $$

$$ | v | = R \cdot ω_0 $$

La velocità angolare

Nel moto circolare uniforme la velocità angolare è una costante indipendente dal tempo $$ ω = ω_0 $$

La velocità angolare è in stretta relazione con la legge del moto.

E' infatti sufficiente integrare la velocità angolare rispetto al tempo per ottenere la legge oraria del moto circolare uniforme.

$$ \int ω_0 \: dt = ω_0 \cdot t + k $$

Dove k è la fase iniziale θ0 dell'angolo.

$$ \int ω_0 \: dt = ω_0 \cdot t + θ_0 $$

Da questo deduco che un angolo generico in un istante di tempo t è uguale a

$$ θ(t) = ω_0 \cdot t + θ_0 $$

E si giunge così alla legge oraria del moto.

L'accelerazione

Nel moto circolare uniforme l'accelerazione è costante e pari a $$ a =ω^2_0 \cdot R = \frac{v^2}{R} $$ mentre l'accelerazione angolare è nulla $$ α=0 $$

Dimostrazione

In un moto circolare l'accelerazione è composta da accelerazione tangenziale e normale

$$ a=a_T + a_N $$

Le equazioni dell'accelerazione tangenziale e normale sono

$$ \begin{cases} a_T = α \cdot R \\ \\ a_N = ω_0^2 \cdot R \end{cases} $$

L'accelerazione angolare (α) è la derivata della velocità angolare (ω) rispetto al tempo

$$ α = \frac{d \: ω}{dt} $$

Poiché nel moto circolare "uniforme" la velocità (v) e la velocità angolare (ω) sono costanti, l'accelerazione angolare è nulla.

$$ α = \frac{d \: ω}{dt} = 0 $$

Pertanto, l'accelerazione tangenzionale (aT=0) si annulla

$$ \begin{cases} a_T = α \cdot R = 0 \\ \\ a_N = ω_0^2 \cdot R \end{cases} $$

L'accelerazione normale (aN) è uguale al prodotto tra la velocità angolare iniziale (ω0) e il raggio (R).

Essendo ω02R delle costanti indipendenti dal tempo, anche l'accelerazione normale (aN) è costante.

Quindi, nel moto circolare uniforme l'accelerazione (a) coincide con l'accelerazione normale (centripeta).

$$ a = a_N = ω_0^2 \cdot R $$

L'accelerazione è costante (ω0R) ed è ortogonale alla traiettoria.

Sapendo che la velocità angolare è ω=v/R

$$ a = a_N = ω_0^2 \cdot R = ( \frac{v}{R} )^2 \cdot R = \frac{v^2}{R} $$

Pertanto, la formula dell'accelerazione posso scriverla anche in questa forma

$$ a = \frac{v^2}{R} $$

I moti componenti dell'accelerazione

Anche l'accelerazione può essere suddivisa in moti componenti ax e ay.

Sono pari alle derivate dei moti componenti della velocità.

$$ a_x = \frac{d \: v_x}{dt} $$

$$ a_y = \frac{d \: v_y}{dt} $$

Sapendo che vx=-ω0R·sin(ω0t+θ0) e vy=-ω0R·cos(ω0t+θ0)

$$ a_x = \frac{d \: [ -ω_0R \cdot \sin(ω_0t+θ_0)] }{dt} $$

$$ a_y = \frac{d \: [ ω_0R \cdot \cos(ω_0t+θ_0)]}{dt} $$

Calcolo le derivate.

$$ a_x = -ω^2_0R \cdot \cos(ω_0t+θ_0) $$

$$ a_y = -ω^2_0R \cdot \sin(ω_0t+θ_0)]$$

Attenzione. Le derivate del seno e del coseno sono derivate di funzioni composte. Quindi va derivato il coseno/seno e moltiplicato per la derivata dell'argomento.

Secondo la legge oraria del moto circolare x=R·cos(ω0t+θ0) e y=R·sin(ω0t+θ0)

$$ a_x = -ω^2_0 \cdot x $$

$$ a_y = -ω^2_0 \cdot y $$

Pertanto, nel moto circolare uniforme i moti componenti dell'accelerazione ax e ay sono opposti ai moti componenti x e y della legge oraria.

L'accelerazione vettoriale

Posso rappresentare l'accelerazione anche in forma vettoriale.

$$ \vec{a} = a_x \cdot i + a_y \cdot j $$

Si tratta di una combinazione lineare in cui i moti componenti ax e ay sono scalari mentre i e j sono versori (vettori unitari).

E' molto importante non confondersi tra le grandezze.

Sapendo che ax=-ω20x e ay=-ω20y

$$ \vec{a} = (-ω^2_0x) \cdot i + (-ω^2_0y) \cdot j $$

$$ \vec{a} = -ω^2_0 \cdot (x \cdot i + y \cdot j ) $$

Il prodotto (xi+yj) è la scomposizione del raggio vettore r.

$$ \vec{a} = -ω^2_0 \cdot \vec{r} $$

Da questo deduco che nel moto circolare uniforme l'accelerazione è controradiale e coincide con l'accelerazione normale (centripeta).

l'accelerazione vettoriale nel moto circolare uniforme

E così via.


 
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