Moto circolare uniforme
Cos'è il moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme è un moto circolare con velocità (v) e velocità angolare (ω) costante.
Le formule
In questa tabella ho riepilogato le formule più importanti del moto circolare uniforme, dal punto di vista degli angoli e degli archi.
Angoli | Archi | |
Legge oraria | $$ θ(t) = ωt + θ_0 $$ | $$ s(t) = θ(t) \cdot R $$ $$ s(t) = s_0 + v \cdot t $$ |
Velocità | $$ ω(t) = ω_0 $$ | $$ v = v_0 = ω_0 \cdot R $$ |
Accelerazione | $$ α = 0 $$ | $$ a = ω_0^2 \cdot R = \frac{v^2}{R} $$ |
Il periodo
Il moto circolare è un moto periodico con periodo T pari al tempo necessario per compiere un giro completo della circonferenza (2πR).
$$ T = \frac{2πR}{v} $$
Dove v è la velocità di spostamento del corpo materiale lungo la traiettoria circolare s(t).
Dimostrazione. L'arco s(t) indica lo spazio percorso dal punto materiale sulla traiettoria. In un giro completo lo spazio percorso è pari alla circonferenza $$ S = 2πR $$ La formula della velocità di un corpo è lo spazio diviso il tempo. $$ V = \frac{S}{T} $$ che nel moto circolare diventa $$ V = \frac{S}{T} = \frac{2πR}{T} $$
In alternativa posso calcolare il periodo dalla velocità angolare (ω)
$$ T = \frac{2π}{ω} $$
Il risultato è sempre lo stesso, perché è un modo diverso per misurare lo stesso fenomeno
Dimostrazione. La velocità angolare (ω) è in stretta relazione con la velocità (v). $$ v = ωR $$ Quindi, è sufficiente sostituire v con ωR alla prima formula per ottenere la seconda. $$ T = \frac{2πR}{V} = \frac{2πR}{ωR} = \frac{2π}{ω} $$
Dimostrazione alternativa. Nell'istante t=0 il punto materiale si trova in un punto qualsiasi della circonferenza con la fase iniziale θ0. $$ θ(0) = θ_0 $$ Per compiere un giro completo impiega un periodo T, al termine del quale la fase è $$ θ(T) = ωT + θ_0 $$ Sapendo che T è un periodo completo, allora ωT=2π ossia 360° $$ φ(T) = 2π + θ_0 $$ Pertanto, le due equazioni sono uguali $$ ωT + θ_0 = 2π + θ_0 $$ Semplifico eliminando la fase θ0 da ambo i membri $$ ωT = 2π $$ E metto in evidenza il periodo T $$ T = \frac{2π}{ω} $$
La legge oraria
Come gli altri moti circolari anche il moto circolare ha due leggi orarie alternative.
- La legge oraria sulla circonferenza
$$ s(t)=s_0+v \cdot t $$
Dove s0 è la posizione iniziale sulla circonferenza nell'istante iniziale t=0, mentre v è la velocità (costante) dello spostamento del punto materiale sull'arco della circonferenza. - La legge oraria dell'angolo
$$ θ(t)=θ_0+ω \cdot t $$
La costante θ0 è, invece, l'angolo nell'istante iniziale t=0, mentre ω è la velocità angolare (costante) della variazione dell'angolo θ.
L'angolo θ(t) moltiplicato per il raggio R mi permette anche di misurare lo spazio percorso sull'arco di circonferenza $$ s(t) = θ(t) \cdot R $$
Qual è la differenza tra le due leggi orarie? La prima legge oraria s(t) misura lo spazio percorso sulla circonferenza nell'istante t a partire dalla posizione iniziale (s0) ossia l'arco (rosso). La seconda legge, invece, misura l'angolo θ(t) del raggio R che congiunge l'origine e il punto materiale sulla circonferenza nell'istante t. Nel grafico è l'angolo di colore viola.
I moti componenti
Le proiezioni delle coordinate x,y del punto materiale sugli assi cartesiani sono:
$$ x = R \cos θ = R \cdot \cos (ωt+θ_0) $$
$$ y = R \sin θ = R \cdot \sin (ωt+θ_0) $$
Le proiezioni di x e y sono due moti armonici con un periodo T coincidente a quello del moto circolare uniforme.
I due moti hanno la stessa ampiezza e la stessa fase iniziale θ0.
Sono però sfasati tra loro di 90° ossia π/2.
Perché le proiezioni x, y sono sfasate di 90°? La componente x dipende dal coseno mentre la componente y dal seno. Quindi, essendo la stessa la fase iniziale (θ0), per ogni angolo θ=ωt+θ0 ci sarà sempre una differenza di 90° tra le due componenti x, y.
La velocità
Nel moto circolare uniforme la velocità (v) e la velocità angolare (ω) sono costanti. $$ v = v_0 = ω_0 \cdot R $$
Per velocità costante si intende il modulo della velocità.
Il vettore velocità, invece, varia perché è composto anche dalla direzione e dal verso, oltre che dal modulo.
Esempio. Questi due punti del moto circolare uniforme sono associati a due vettori v e v'. I due vettori sono diversi perché hanno direzione e verso differenti, pur avendo la stessa lunghezza (modulo) ossia |v|. Pertanto, nel moto circolare uniforme i vettori velocità sono diversi nel tempo. E' il modulo dei vettori |v| ossia la lunghezza a essere costante.
Dimostrazione
Il vettore velocità v è composto dalla somma dei vettori vx e vy che indicano lo spostamento sugli assi.
$$ \vec{v} = \vec{v_x} + \vec{v_y} $$
$$ \vec{v} = v_x \cdot i + v_y \cdot j $$
In quest'ultima forma i e j sono i versori mentre vx e vy sono scalari.
Sapendo che la velocità è la derivata dello spostamento (legge oraria) posso riscrivere gli scalari vx e vy in questo modo
$$ v_x = \frac{d \: x}{dt} $$
$$ v_y = \frac{d \: y}{dt} $$
Sostituisco le componenti x=R·cos θ e y=R·sin θ.
$$ v_x = \frac{d \: [R \cdot \cos θ]}{dt} $$
$$ v_y = \frac{d \: [R \cdot \sin θ]}{dt} $$
Sapendo che l'angolo θ=ω0t+θ0
$$ v_x = \frac{d \: [R \cdot \cos (ω_0t+θ_0)]}{dt} $$
$$ v_y = \frac{d \: [R \cdot \sin (ω_0t+θ_0)]}{dt} $$
Poi calcolo le derivate.
Si tratta di due derivate di funzioni composte.
$$ v_x = \frac{d \: [R \cdot \cos (ω_0t+θ_0)]}{dt} = - R ω_0 \cdot \sin (ω_0t+θ_0) $$
$$ v_y = \frac{d \: [R \cdot \sin (ω_0t+θ_0)]}{dt} = R ω_0 \cdot \cos (ω_0t+θ_0) $$
Tornando alla somma vettoriale
$$ \vec{v} = v_x \cdot i + v_y \cdot j $$
Bisogna fare attenzione e non confondersi.
Essendo una somma vettoriale (i e j sono versori) per calcolare il modulo (lunghezza) del vettore velocità devo usare il teorema di Pitagora.
$$ | v | = \sqrt{v_x^2+v_y^2} $$
Sostituisco gli scalari vx e vy
$$ | v | = \sqrt{[ - R ω_0 \cdot \sin (ω_0t+θ_0) ]^2+[ R ω_0 \cdot \cos (ω_0t+θ_0) ]^2} $$
$$ | v | = \sqrt{R^2 ω_0^2 \cdot \sin^2 (ω_0t+θ_0) + R^2 ω_0^2 \cdot \cos^2 (ω_0t+θ_0) } $$
$$ | v | = \sqrt{R^2 ω_0^2 \cdot [ \sin^2 (ω_0t+θ_0) + \cos^2 (ω_0t+θ_0) ] } $$
In trigonometria la somma sin2+cos2=1
$$ | v | = \sqrt{R^2 ω_0^2 \cdot 1 } $$
$$ | v | = \sqrt{R^2 ω_0^2 } $$
$$ | v | = R \cdot ω_0 $$
La velocità angolare
Nel moto circolare uniforme la velocità angolare è una costante indipendente dal tempo $$ ω = ω_0 $$
La velocità angolare è in stretta relazione con la legge del moto.
E' infatti sufficiente integrare la velocità angolare rispetto al tempo per ottenere la legge oraria del moto circolare uniforme.
$$ \int ω_0 \: dt = ω_0 \cdot t + k $$
Dove k è la fase iniziale θ0 dell'angolo.
$$ \int ω_0 \: dt = ω_0 \cdot t + θ_0 $$
Da questo deduco che un angolo generico in un istante di tempo t è uguale a
$$ θ(t) = ω_0 \cdot t + θ_0 $$
E si giunge così alla legge oraria del moto.
L'accelerazione
Nel moto circolare uniforme l'accelerazione è costante e pari a $$ a =ω^2_0 \cdot R = \frac{v^2}{R} $$ mentre l'accelerazione angolare è nulla $$ α=0 $$
Dimostrazione
In un moto circolare l'accelerazione è composta da accelerazione tangenziale e normale
$$ a=a_T + a_N $$
Le equazioni dell'accelerazione tangenziale e normale sono
$$ \begin{cases} a_T = α \cdot R \\ \\ a_N = ω_0^2 \cdot R \end{cases} $$
L'accelerazione angolare (α) è la derivata della velocità angolare (ω) rispetto al tempo
$$ α = \frac{d \: ω}{dt} $$
Poiché nel moto circolare "uniforme" la velocità (v) e la velocità angolare (ω) sono costanti, l'accelerazione angolare è nulla.
$$ α = \frac{d \: ω}{dt} = 0 $$
Pertanto, l'accelerazione tangenzionale (aT=0) si annulla
$$ \begin{cases} a_T = α \cdot R = 0 \\ \\ a_N = ω_0^2 \cdot R \end{cases} $$
L'accelerazione normale (aN) è uguale al prodotto tra la velocità angolare iniziale (ω0) e il raggio (R).
Essendo ω02R delle costanti indipendenti dal tempo, anche l'accelerazione normale (aN) è costante.
Quindi, nel moto circolare uniforme l'accelerazione (a) coincide con l'accelerazione normale (centripeta).
$$ a = a_N = ω_0^2 \cdot R $$
L'accelerazione è costante (ω0R) ed è ortogonale alla traiettoria.
Sapendo che la velocità angolare è ω=v/R
$$ a = a_N = ω_0^2 \cdot R = ( \frac{v}{R} )^2 \cdot R = \frac{v^2}{R} $$
Pertanto, la formula dell'accelerazione posso scriverla anche in questa forma
$$ a = \frac{v^2}{R} $$
I moti componenti dell'accelerazione
Anche l'accelerazione può essere suddivisa in moti componenti ax e ay.
Sono pari alle derivate dei moti componenti della velocità.
$$ a_x = \frac{d \: v_x}{dt} $$
$$ a_y = \frac{d \: v_y}{dt} $$
Sapendo che vx=-ω0R·sin(ω0t+θ0) e vy=-ω0R·cos(ω0t+θ0)
$$ a_x = \frac{d \: [ -ω_0R \cdot \sin(ω_0t+θ_0)] }{dt} $$
$$ a_y = \frac{d \: [ ω_0R \cdot \cos(ω_0t+θ_0)]}{dt} $$
Calcolo le derivate.
$$ a_x = -ω^2_0R \cdot \cos(ω_0t+θ_0) $$
$$ a_y = -ω^2_0R \cdot \sin(ω_0t+θ_0)]$$
Attenzione. Le derivate del seno e del coseno sono derivate di funzioni composte. Quindi va derivato il coseno/seno e moltiplicato per la derivata dell'argomento.
Secondo la legge oraria del moto circolare x=R·cos(ω0t+θ0) e y=R·sin(ω0t+θ0)
$$ a_x = -ω^2_0 \cdot x $$
$$ a_y = -ω^2_0 \cdot y $$
Pertanto, nel moto circolare uniforme i moti componenti dell'accelerazione ax e ay sono opposti ai moti componenti x e y della legge oraria.
L'accelerazione vettoriale
Posso rappresentare l'accelerazione anche in forma vettoriale.
$$ \vec{a} = a_x \cdot i + a_y \cdot j $$
Si tratta di una combinazione lineare in cui i moti componenti ax e ay sono scalari mentre i e j sono versori (vettori unitari).
E' molto importante non confondersi tra le grandezze.
Sapendo che ax=-ω20x e ay=-ω20y
$$ \vec{a} = (-ω^2_0x) \cdot i + (-ω^2_0y) \cdot j $$
$$ \vec{a} = -ω^2_0 \cdot (x \cdot i + y \cdot j ) $$
Il prodotto (xi+yj) è la scomposizione del raggio vettore r.
$$ \vec{a} = -ω^2_0 \cdot \vec{r} $$
Da questo deduco che nel moto circolare uniforme l'accelerazione è controradiale e coincide con l'accelerazione normale (centripeta).
E così via.