L'accelerazione
In fisica l'accelerazione è la variazione della velocità in un moto. Può essere media o istantanea.
Qual è la differenza?
L'accelerazione media rileva la variazione di velocità di un punto in movimento in un intervallo di tempo (t-t0), mentre l'accelerazione istantanea la rileva in un istante preciso (t).
L'accelerazione media
In un moto rettilineo l'accelerazione media è il rapporto tra la variazione della velocità in un intervallo di tempo. $$ a_m = \frac{Δv}{Δx} $$
Dove Δx è un intervallo di tempo t-t0.
Un esempio pratico
Nell'istante t=0 un treno viaggia alla velocità di 100 km/h.
Dopo 10 secondi, nell'istante t=10, la velocità del treno è di 120 km/h.
Per calcolare l'accelerazione media applico la formula precedente
$$ a_m = \frac{Δv}{Δt} $$
$$ a_m = \frac{20}{10} = 2 km/sec $$
L'accelerazione media del treno è stata di 2 chilometri al secondo.
L'accelerazione istantanea
L'accelerazione istantanea è la rapidità di variazione della velocità in un istante t.
E' uguale alla derivata prima della velocità rispetto al tempo.
$$ a = \frac{dv}{dt} $$
Nota. Poiché la velocità è la derivata prima della posizione nello spazio x rispetto al tempo, posso anche affermare che l'accelerazione istantanea è la derivata seconda della posizione x nello spazio rispetto al tempo. $$ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} $$
Dal punto di vista grafico l'accelerazione istantanea è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della velocità nell'istante t.
L'accelerazione si ottiene calcolando il limite per Δt→∞ del rapporto incrementale
$$ a(t) = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{ v(t+Δt) -v(t)}{Δt} = \frac{d \: v}{ d \: t} $$
Il segno algebrico dell'accelerazione istantanea fornisce alcune importanti informazioni
- se a>0 la velocità cresce
- se a=0 la velocità è costante
- se a<0 la velocità si riduce
Conoscendo la funzione di accelerazione posso anche calcolare la velocità del punto in qualsiasi istante.
L'accelerazione vettoriale
Nello spazio la velocità istantanea è un vettore.
$$ \vec{v} = \frac{d \: x}{d \: t} \cdot \hat{u} + \frac{d \: y}{d \: t} \cdot \hat{j} + \frac{d \: z}{d \: t} \cdot \hat{k} $$
$$ \vec{v} = v_x \cdot \hat{u} + v_y \cdot \hat{j} + v_y \cdot \hat{k} $$
Pertanto, anche la variazione della velocità istantanea (ossia l'accelerazione istantanea) è un vettore.
$$ \vec{a} = \frac{d \: v_x}{d \: t} \cdot \hat{u} + \frac{d \: v_y}{d \: t} \cdot \hat{j} + \frac{d \: v_z}{d \: t} \cdot \hat{k} $$
$$ \vec{a} = a_x \cdot \hat{u} + a_y \cdot \hat{j} + a_y \cdot \hat{k} $$
Nota. I versori u,j,k sono costanti in entrambe le precedenti equazioni. Quindi, necessariamente la derivata dvx/dt=ax. Lo stesso vale per dvy/dt=ay e dvz/dt=az.
Posso misurare le variazioni di accelerazione di un punto materiale nel tempo analizzando le variazioni delle singole componenti dell'accelerazione sugli assi x,y,z.
Le componenti dell'accelerazione sono
$$ a_x(t) = \frac{d \: v_x}{d \: t} \cdot \hat{u} $$
$$ a_y(t) = \frac{d \: v_y}{d \: t} \cdot \hat{j} $$
$$ a_z(t) = \frac{d \: v_z}{d \: t} \cdot \hat{k} $$
Poiché la velocità è la derivata prima della posizione, l'accelerazione è la derivata seconda della posizione.
$$ a_x(t) = \frac{d^2 \: x}{d \: t^2} \cdot \hat{u} $$
$$ a_y(t) = \frac{d^2 \: y}{d \: t^2} \cdot \hat{j} $$
$$ a_z(t) = \frac{d^2 \: z}{d \: t^2} \cdot \hat{k} $$
E così via.