L'accelerazione

In fisica l'accelerazione è la variazione della velocità in un moto. Può essere media o istantanea.

Qual è la differenza?

L'accelerazione media rileva la variazione di velocità di un punto in movimento in un intervallo di tempo (t-t₀), mentre l'accelerazione istantanea la rileva in un istante preciso (t).

L'accelerazione media

In un moto rettilineo l'accelerazione media è il rapporto tra la variazione della velocità in un intervallo di tempo. $$ a_m = \frac{Δv}{Δx} $$

Dove Δx è un intervallo di tempo t-t₀.

Un esempio pratico

Nell'istante t=0 un treno viaggia alla velocità di 100 km/h.

Dopo 10 secondi, nell'istante t=10, la velocità del treno è di 120 km/h.

Per calcolare l'accelerazione media applico la formula precedente

$$ a_m = \frac{Δv}{Δt} $$

$$ a_m = \frac{20}{10} = 2 km/sec $$

L'accelerazione media del treno è stata di 2 chilometri al secondo.

L'accelerazione istantanea

L'accelerazione istantanea è la rapidità di variazione della velocità in un istante t.

E' uguale alla derivata prima della velocità rispetto al tempo.

$$ a = \frac{dv}{dt} $$

Nota. Poiché la velocità è la derivata prima della posizione nello spazio x rispetto al tempo, posso anche affermare che l'accelerazione istantanea è la derivata seconda della posizione x nello spazio rispetto al tempo. $$ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} $$

Dal punto di vista grafico l'accelerazione istantanea è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della velocità nell'istante t.

L'accelerazione si ottiene calcolando il limite per Δt→∞ del rapporto incrementale

$$ a(t) = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{ v(t+Δt) -v(t)}{Δt} = \frac{d \: v}{ d \: t} $$

Il segno algebrico dell'accelerazione istantanea fornisce alcune importanti informazioni

• se a>0 la velocità cresce
• se a=0 la velocità è costante
• se a<0 la velocità si riduce

Conoscendo la funzione di accelerazione posso anche calcolare la velocità del punto in qualsiasi istante.

L'accelerazione vettoriale

Nello spazio la velocità istantanea è un vettore.

$$ \vec{v} = \frac{d \: x}{d \: t} \cdot \hat{u} + \frac{d \: y}{d \: t} \cdot \hat{j} + \frac{d \: z}{d \: t} \cdot \hat{k} $$

$$ \vec{v} = v_x \cdot \hat{u} + v_y \cdot \hat{j} + v_y \cdot \hat{k} $$

Pertanto, anche la variazione della velocità istantanea (ossia l'accelerazione istantanea) è un vettore.

$$ \vec{a} = \frac{d \: v_x}{d \: t} \cdot \hat{u} + \frac{d \: v_y}{d \: t} \cdot \hat{j} + \frac{d \: v_z}{d \: t} \cdot \hat{k} $$

$$ \vec{a} = a_x \cdot \hat{u} + a_y \cdot \hat{j} + a_y \cdot \hat{k} $$

Nota. I versori u,j,k sono costanti in entrambe le precedenti equazioni. Quindi, necessariamente la derivata dv_x/dt=a_x. Lo stesso vale per dv_y/dt=a_y e dv_z/dt=a_z.

Posso misurare le variazioni di accelerazione di un punto materiale nel tempo analizzando le variazioni delle singole componenti dell'accelerazione sugli assi x,y,z.

Le componenti dell'accelerazione sono

$$ a_x(t) = \frac{d \: v_x}{d \: t} \cdot \hat{u} $$

$$ a_y(t) = \frac{d \: v_y}{d \: t} \cdot \hat{j} $$

$$ a_z(t) = \frac{d \: v_z}{d \: t} \cdot \hat{k} $$

Poiché la velocità è la derivata prima della posizione, l'accelerazione è la derivata seconda della posizione.

$$ a_x(t) = \frac{d^2 \: x}{d \: t^2} \cdot \hat{u} $$

$$ a_y(t) = \frac{d^2 \: y}{d \: t^2} \cdot \hat{j} $$

$$ a_z(t) = \frac{d^2 \: z}{d \: t^2} \cdot \hat{k} $$

E così via.