Problema di fisica 1 sul moto circolare uniforme
Devo studiare il moto circolare uniforme di un punto che ha la seguente legge oraria
$$ x(t) = K \cdot \cos[ \theta(t) ] $$
$$ y(t) = K \cdot \sin[ \theta(t) ] $$
Dove la velocità angolare è
$$ \theta(t) = \omega_0 \cdot t $$
Svolgo i seguenti passi
La legge oraria in forma vettoriale
Sapendo che il vettore posizione di un punto nel moto circolare uniforme è il seguente
$$ \vec{r} = x(t) \cdot \vec{u}_x + y(t) \cdot \vec{u}_y $$
Dove ux e uy sono i versori degli assi cartesiani ux=(1,0)T e uy=(0,1)T
Sostituisco x(t) e y(t) nel vettore posizione
$$ \vec{r} = K \cdot \cos[ \theta(t) ] \cdot \vec{u}_x + K \cdot \sin[ \theta(t) ] \cdot \vec{u}_y $$
Specifico la funzione della velocità angolare
$$ \vec{r} = K \cdot \cos[ \omega_0 \cdot t ] \cdot \vec{u}_x + K \cdot \sin[ \omega_0 \cdot t ] \cdot \vec{u}_y $$
Utilizzo il teorema di Pitagora per calcolare il modulo della legge oraria
$$ |\vec{r}| = \sqrt{ (K \cdot \cos[ \omega_0 \cdot t ])^2 + ( K \cdot \sin[ \omega_0 \cdot t ] )^2 } $$
$$ |\vec{r}| = \sqrt{ K^2 \cdot \cos^2[ \omega_0 \cdot t ] + K^2 \cdot \sin^2[ \omega_0 \cdot t ] } $$
Metto in evidenza il fattore comune K2
$$ |\vec{r}| = \sqrt{ K^2 \cdot ( \cos^2[ \omega_0 \cdot t ] + \sin^2[ \omega_0 \cdot t ] ) } $$
Sapendo che la legge fondamentale della trigonometria è sin2(x)+cos2(x)=1
$$ |\vec{r}| = \sqrt{ K^2 \cdot 1 } $$
$$ |\vec{r}| = \sqrt{ K^2 } $$
Pertanto il modulo è K
$$ |\vec{r}| = K $$
Il vettore velocità
La velocità del moto è la derivata della legge oraria rispetto al tempo
$$ \vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt} $$
$$ \vec{v} = \frac{d [ K \cdot \cos[ \omega_0 \cdot t ] \cdot \vec{u}_x + K \cdot \sin[ \omega_0 \cdot t ] \cdot \vec{u}_y ]}{dt} $$
$$ \vec{v} = \frac{d [ K \cdot \cos[ \omega_0 \cdot t ] \cdot \vec{u}_x ] }{dt} + \frac{d[ K \cdot \sin[ \omega_0 \cdot t ] \cdot \vec{u}_y ]}{dt}$$
$$ \vec{v} = K \cdot \frac{d [ \cos[ \omega_0 \cdot t ] ] }{dt} \cdot \vec{u}_x + K \cdot \frac{d[ \sin[ \omega_0 \cdot t ] ]}{dt} \cdot \vec{u}_y$$
La derivata di cos(ωt) è -sin(ωt)·ω poiché si tratta di una funzione composta
$$ \vec{v} = K \cdot (- \sin( \omega_0 t ) \cdot \omega_0 ) \cdot \vec{u}_x + K \cdot \frac{d[ \sin[ \omega_0 \cdot t ] ]}{dt} \cdot \vec{u}_y$$
$$ \vec{v} = - K \cdot \omega_0 \cdot \sin( \omega_0 t ) \cdot \vec{u}_x + K \cdot \frac{d[ \sin[ \omega_0 \cdot t ] ]}{dt} \cdot \vec{u}_y$$
La derivata di sin(ωt) è cos(ωt)·ω poiché si tratta di una funzione composta
$$ \vec{v} = - K \cdot \omega_0 \cdot \sin( \omega_0 t ) \cdot \vec{u}_x + K \cdot [ \cos(\omega_0 t) \cdot \omega_0 ] \cdot \vec{u}_y$$
$$ \vec{v} = - K \cdot \omega_0 \cdot \sin( \omega_0 t ) \cdot \vec{u}_x + K \cdot \omega_0 \cos(\omega_0 t) \cdot \vec{u}_y$$
Quindi, il vettore velocità del moto è
$$ \vec{v} = - K \cdot \omega_0 \cdot \sin( \omega_0 t ) \cdot \vec{u}_x + K \cdot \omega_0 \cos(\omega_0 t) \cdot \vec{u}_y$$
Verifica. La dimensione della velocità è [L]·[T-1]. Dal punto dimensionale il calcolo è corretto perché K è una lunghezza [L] e ω è il tempo alla meno 1 [T-1].
Utilizzo il teorema di Pitagora per calcolare il modulo della velocità
$$ | \vec{v} | = \sqrt{ v_x(t)^2 + v_y(t)^2 } $$
Le componenti del vettore velocità sono vx=-Kω0sin(ω0t) e vy=Kω0cos(ω0t)
$$ | \vec{v} | = \sqrt{ [ - K \cdot \omega_0 \cdot \sin( \omega_0 t ) ]^2 + [ K \cdot \omega_0 \cos(\omega_0 t) ]^2 } $$
$$ | \vec{v} | = \sqrt{ K^2 \cdot \omega_0^2 \cdot \sin^2( \omega_0 t ) + K^2 \cdot \omega_0^2 \cos^2(\omega_0 t) } $$
Metto in evidenza il fattore in comune K2ω02
$$ | \vec{v} | = \sqrt{ K^2 \cdot \omega_0^2 \cdot [ \sin^2( \omega_0 t ) + \cos^2(\omega_0 t) ] } $$
Sapendo che la legge fondamentale della trigonometria è sin2(x)+cos2(x)=1
$$ | \vec{v} | = \sqrt{ K^2 \cdot \omega_0^2 \cdot 1 } $$
Quindi, il modulo del vettore velocità è Kω0
$$ | \vec{v} | = K \cdot \omega_0 $$
Il vettore accelerazione
L'accelerazione del moto è la derivata della velocità rispetto al tempo
$$ \vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} $$
$$ \vec{a} = \frac{d [ - K \cdot \omega_0 \cdot \sin( \omega_0 t ) \cdot \vec{u}_x + K \cdot \omega_0 \cos(\omega_0 t) \cdot \vec{u}_y ]}{dt} $$
$$ \vec{a} = \frac{d [ - K \cdot \omega_0 \cdot \sin( \omega_0 t ) \cdot \vec{u}_x ]}{dt} + \frac{d [ K \cdot \omega_0 \cos(\omega_0 t) \cdot \vec{u}_y ]}{dt} $$
$$ \vec{a} = - K \cdot \omega_0 \cdot \frac{d [ \sin( \omega_0 t ) ]}{dt} \cdot \vec{u}_x + K \cdot \omega_0 \cdot\frac{d [ \cos(\omega_0 t) ]}{dt} \cdot \vec{u}_y $$
La derivata di sin(ω0t) è cos(ω0t)·ω0 poiché si tratta di una funzione composta
$$ \vec{a} = - K \cdot \omega_0 \cdot [ \cos ( \omega_0 t ) \cdot w_0] \cdot \vec{u}_x + K \cdot \omega_0 \cdot\frac{d [ \cos(\omega_0 t) ]}{dt} \cdot \vec{u}_y $$
$$ \vec{a} = - K \cdot \omega_0^2 \cdot \cos ( \omega_0 t ) \cdot \vec{u}_x + K \cdot \omega_0 \cdot\frac{d [ \cos(\omega_0 t) ]}{dt} \cdot \vec{u}_y $$
La derivata di cos(ω0t) è -sin(ω0t)·ω0 poiché si tratta di una funzione composta
$$ \vec{a} = - K \cdot \omega_0^2 \cdot \cos ( \omega_0 t ) \cdot \vec{u}_x + K \cdot \omega_0 \cdot [ - \sin(\omega_0 t) \cdot \omega_0 ] \cdot \vec{u}_y $$
Quindi, il vettore accelerazione è
$$ \vec{a} = - K \cdot \omega_0^2 \cdot \cos ( \omega_0 t ) \cdot \vec{u}_x - K \cdot \omega_0^2 \cdot \sin(\omega_0 t) \cdot \vec{u}_y $$
Verifica. La dimensione dell'accelerazione è [L]·[T-2]. Dal punto dimensionale il calcolo è corretto perché K è una lunghezza [L] e ω è il tempo alla meno 2 [T-2].
Utilizzo il teorema di Pitagora per calcolare il modulo dell'accelerazione
$$ | \vec{a} | = \sqrt{ a_x(t)^2 +a_y(t)^2 } $$
Le componenti del vettore accelerazione sono ax=-Kω02cos(ω0t) e vy=-Kω02sin(ω0t)
$$ | \vec{a} | = \sqrt{ [ - K \cdot \omega_0^2 \cdot \cos ( \omega_0 t ) ]^2 +[ - K \cdot \omega_0^2 \cdot \sin(\omega_0 t) ]^2 } $$
$$ | \vec{a} | = \sqrt{ K^2 \cdot \omega_0^4 \cdot \cos^2 ( \omega_0 t ) + K^2 \cdot \omega_0^4 \cdot \sin^2(\omega_0 t) } $$
Metto in evidenza il fattore in comune K2ω04
$$ | \vec{a} | = \sqrt{ K^2 \cdot \omega_0^4 \cdot [ \cos^2 ( \omega_0 t ) + \sin^2(\omega_0 t) ] } $$
Sapendo che la legge fondamentale della trigonometria è sin2(x)+cos2(x)=1
$$ | \vec{a} | = \sqrt{ K^2 \cdot \omega_0^4 \cdot 1 } $$
Pertanto, il modulo del vettore accelerazione è Kω02
$$ | \vec{a} | = K \cdot \omega_0^2 $$
E così via.
