Numeri immaginari
Un numero immaginario è un numero complesso del tipo (0,b) con la parte reale nulla. $$ (0,b) $$ oppure bi in forma algebrica. $$ b \cdot i $$ dove i è l'unità immaginaria i=(0,1).
In pratica è una coppia di numeri reali in cui il primo elemento è sempre nullo.
Dal punto di vista geometrico l'insieme dei numeri immaginari corrisponde ai punti dell'asse delle ordinate (Im) del piano di Gauss.
Un numero immaginario particolarmente importante è il numero (0,1) detto unità immaginaria.
L'unità immaginaria
L'unità immaginaria è il numero immaginario (0,1). Si indica con il simbolo i oppure j. $$ i = (0,1) $$
Ecco l'unità immaginaria sul piano di Gauss.
Nota. In genere l'unità immaginaria è indicata con la lettera i nei testi matematici e con la lettera j nei testi di ingegneria. Il significato è sempre lo stesso $$ i = j = (0,1) $$
L'unità immaginaria è importante perché il quadrato dell'unità immaginaria è -1
$$ i^2 = (0,1)^2 = -1 $$
Dimostrazione. Per dimostrare questo risultato calcolo il quadrato dell'unità immaginaria (0,1)2 come prodotto del numero immaginario (0,1)*(0,1) per se stesso. $$ (0,1)^2 = (0,1) \cdot (0,1) $$ Calcolo la moltiplicazione tra i due numeri complessi immaginari. $$ (0,1)^2 = ( 0 \cdot 0-1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) $$ $$ (0,1)^2 = ( 0-1, 0 + 0) $$ $$ (0,1)^2 = ( -1, 0) $$ Il risultato è il numero complesso reale meno uno. Pertanto, il quadrato dell'unità immaginaria i=(0,1) è i2=-1.
Questo è' particolarmente utile nel calcolo delle radici quadrate dei numeri reali negativi.
Esempio
La radice quadrata di -9 non può essere calcolata con i numeri reali
$$ x = \sqrt{-9} $$
Posso però risolverla con i numeri complessi.
$$ x = \sqrt{-1 \cdot 9} $$
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è meno uno i2=-1
$$ x = \sqrt{i^2 \cdot 9} $$
$$ x = i \cdot \sqrt{9} $$
Ora il radicando è un numero reale positivo, quindi posso calcolare la radice quadrata.
$$ x = \pm i \cdot 3 $$
Le soluzioni della radice quadrata di -9 sono i numeri complessi immaginari 0+3i e 0-3i ossia (0,3) e (0,-3).
$$ x = \sqrt{-9} = \begin{cases} 0+3i \\ \\ 0 - 3i \end{cases} $$
Le due soluzioni sono due numeri complessi coniugati.
Le altre proprietà dell'unità immaginaria
In generale il prodotto tra l'unità immaginaria (0,1) e un numero complesso reale (a,0) è sempre un numero immaginario del tipo (0,a).
$$ (a,0) \cdot (0,1) = (0,a)$$
Dimostrazione. Per dimostrare questa proprietà basta svolgere la moltiplicazione tra numeri complessi. $$ (a,0) \cdot (0,1) = (a \cdot 0 - 0 \cdot 1, a \cdot 1 + 0 \cdot 0) $$ $$ (a,0) \cdot (0,1) = (0 - 0, a + 0) $$ $$ (a,0) \cdot (0,1) = (0, a) $$
Esempio
Moltiplico il numero complesso reale z1=(5,0) per l'unità immaginaria i=(0,1)
$$ z_1 \cdot i = (5,0) \cdot (0,1) $$ $$ z_1 \cdot i = (5 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 5 \cdot 1 + 0 \cdot 0) $$ $$ z_1 \cdot i = (0 - 0, 5 + 0) $$ $$ z_1 \cdot i = (0, 5) $$
Il risultato finale è un numero immaginario.
Un esempio pratico
Considero due numeri immaginari
$$ z_1 = (0,4) $$
$$ z_2 = (0,3) $$
La somma dei due numeri immaginari è un altro numero immaginario.
$$ z_1 + z_2 = (0,4) + (0,3) = (0+0,4+3) = (0,7) $$
Il prodotto tra i due numeri immaginari è un numero complesso reale
$$ z_1 \cdot z_2 = (0,4) \cdot (0,3) $$
$$ z_1 \cdot z_2 = (0 \cdot 0 - 4 \cdot 3,0 \cdot 3 + 4 \cdot 0) $$
$$ z_1 \cdot z_2 = (0 - 12,0 + 0) $$
$$ z_1 \cdot z_2 = (- 12, 0) $$
I numeri immaginari in forma algebrica
Un numero immaginario (0,b) posso scriverlo anche nella forma algebrica bi dove i è l'unità immaginaria i=(0,1) $$ (0,b)=bi $$
Dimostrazione
Considero un numero immaginario qualsiasi (0,b)
$$ z = (0,b) $$
Lo scrivo in forma algebrica
$$ z = b \cdot i $$
Sapendo che l'unità immaginaria i=(0,1)
$$ z = b \cdot i = b \cdot (0,1) $$
Calcolo la moltiplicazione e ottengo il numero immaginario nella forma (0,b)
$$ z = b \cdot i = b \cdot (0,1) = (b \cdot 0 , b \cdot 1 ) $$
Nota. In forma algebrica i numeri immaginari si calcolano come fossero monomi. Va però sottolineato che un numero immaginario non è un monomio perché l'unità immaginaria non è una variabile bensì una costante.
Le operazioni tra numeri immaginari
Per calcolare le operazioni matematiche tra numeri immaginari si seguono queste regole
- L'addizione tra numeri immaginari
Dati due numeri immaginari z1=(0,a) e z2=(0,b) l'addizione si calcola sommando i coefficienti immaginari tra loro $$ z_1 + z_2 = (0,a) + (0,b) = (0,a+b) $$ In forma algebrica $$ z_1+z_2=a i + bi = (a+b)i $$ - La sottrazione tra numeri immaginari
Dati due numeri immaginari z1=(0,a) e z2=(0,b) la differenza si calcola sottraendo il secondo coefficiente immaginario dal primo $$ z_1 - z_2 = (0,a) - (0,b) = (0,a-b) $$ In forma algebrica $$ z_1-z_2=a i - bi = (a-b)i $$ - La moltiplicazione tra numeri immaginari
Il prodotto di due numeri immaginari z1=(0,a) e z2=(0,b) è un numero reale -ab $$ z_1 \cdot z_2 = (0,a) \cdot (0,b) = -ab $$ In forma algebrica $$ z_1 \cdot z_2 = ai \cdot bi = abi^2 =ab(-1) = -ab $$ - La divisione tra numeri immaginari
La divisione di due numeri immaginari z1=(0,a) e z2=(0,b) è un numero reale. $$ (0,a) : (0,b) = (a:b, 0) $$ in forma algebrica $$ ai : bi = a:b $$ - La potenza dei numeri immaginari
La potenza di un numero immaginario è uguale alla potenza del numero reale per la potenza dell'unità immaginaria. $$ (ai)^n = a^n \cdot i^n $$ Dove la potenza dell'unità immaginaria si ripete con periodo quattro: i0=1, i1=i, i2=-1, i3=-i, ...
Nota. L'addizione e la sottrazione sono due operazioni interne ai numeri immaginari perché il risultato è un altro numero immaginario. La moltiplicazione e la divisione, invece, non sono operazioni interne ai numeri immaginari perché il risultato è un numero reale, non è un numero immaginario.
E così via.
