Numeri complessi opposti
Due numeri complessi z e -z sono detti numeri complessi opposti se hanno valori opposti nella parte reale e nella parte immaginaria. $$ z = a + bi $$ $$ -z = -a-bi $$
Per calcolare il numero complesso opposto di un numero complesso z, basta cambiare i segni della parte reale e immaginaria.
Un esempio pratico
Considero un numero complesso z
$$ z=2+3i $$
Il numero complesso opposto ha valore opposto sia nella parte reale che nella parte immaginaria
$$ -z = -2 -3i $$
I valori assoluti nella parte reale e immaginaria sono gli stessi ma il segno è opposto.
Esempio 2
Considero il numero complesso
$$ z=2-3i $$
Il numero complesso opposto è
$$ -z = -2+3i $$
Nota. Per calcolare il valore opposto di un numero complesso è sufficiente moltiplicarlo per -1. $$ z \cdot (-1) = (2-3i) \cdot (-1) = 2 \cdot (-1) - 3i \cdot (-1) = -2 + 3i $$
La differenza tra numeri complessi opposti e coniugati
Due numeri complessi sono
- numeri complessi opposti quando hanno il valore opposto sia nella parte reale che immaginaria. $$ z = a + bi $$ $$ -z = -a-bi $$
- numeri complessi coniugati quando hanno lo stesso valore nella parte reale e il valore opposto nella parte immaginaria. $$ z = a + bi $$ $$ z' = a-bi $$
Nota. Nel caso dei numeri coniugati il valore della parte reale (a) è lo stesso mentre il coefficiente immaginario (b) ha valore opposto (-b).
Esempio
Considero il numero complesso z=2+3i
$$ z = 2+3i $$
Il numero complesso opposto di z è
$$ -z = -2 - 3i $$
Il numero complesso coniugato di z è
$$ z' = 2-3i $$
Le proprietà dei numeri complessi opposti
Alcune proprietà dei numeri complessi opposti
- La somma tra due numeri complessi opposti z=a+bi e -z=-a-bi è nulla $$ z+(-z)= 0 $$
Dimostrazione. Considero due numeri complessi opposti z=a+bi e -z=-a-bi. La somma algebrica dei due numeri complessi è pari a zero perché le parti reali e immaginarie si annulano. $$ z+(-z) = (a+bi)+(-a-bi) = a+bi-a-bi = 0 $$
E così via.
