Lo studio del segno della funzione

In un intervallo una funzione è detta positiva se il valore f(x)>0, negativa se f(x)<0 o nulla se f(x)=0.

Per determinare la positività o la negatività della funzione si individuano i punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse delle ascisse (x) anche detti zeri della funzione.

Nota. Il segno della funzione è parte dello studio della funzione che consente di descrivere tutte le caratteristiche di una funzione (campo di esistenza, crescenza, decrescenza, concavità, convessità, minimo, massimo, flessi, ecc).

Un esempio pratico

Questa funzione è definita nel campo dei numeri reali

$$ y=x^3-2x^2-3x $$

Quindi, il campo di esistenza della funzione è (-∞,+∞).

Per trovare i punti di intersezione con l'ascisse, ossia i suoi zeri, considero il caso in cui y=0

$$ x^3-2x^2-3x = 0 $$

Raccolgo la x con un semplice passaggio algebrico diventa

$$ x(x^2-2x-3) = 0 $$

Quindi studio il segno dei due fattori x e x²-2x-3.

Il primo fattore (x) è molto semplice. E' positivo per x>0.

Descrivo l'intervallo di positività (+) della x con una retta continua. Lo zero (x=0) invece lo indico con un cerchio vuoto.

Il secondo fattore è un'equazione di secondo grado.

$$ x = \frac{-b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ x= \frac{-(-2)±\sqrt{(-2)^2-4(1 \cdot -3)}}{2(1)} $$ $$ x= \frac{2±\sqrt{16}}{2} $$ $$ x= \frac{2±4}{2} $$

Gli zeri dell'equazione sono

$$ x_1= \frac{2+4}{2}=3 $$ $$ x_2= \frac{2-4}{2}=-1 $$

Quindi, studio il segno negli intervalli tra gli zeri della funzione.

• Nell'intervallo (-1,3) la funzione è negativa. Ad esempio, per x=0 ⇒ f(x)<3.
• Nell'intervallo (-∞,-1) la funzione è positiva. Ad esempio, per x=-2 ⇒ f(x)=5.
• Nell'intervallo (3,+∞) la funzione è positiva. Ad esempio, per x=4 ⇒ f(x)=5.

Riporto gli intervalli di positività e gli zeri nel diagramma del segno.

Poiché il fattore x moltiplica il fattore x²-2x-3, posso tracciare una terza linea semplicemente facendo il prodotto algebrico dei segni (+ o -).

Ad esempio, nell'intervallo (-∞,-1) la prima linea è negativa (-) mentre la seconda linea è positiva (+).

Pertanto, nell'intervallo (-∞,-1) il prodotto algebrico dei due fattori è negativo.

Nel punto -1 il secondo fattore è nullo.

Quindi anche il prodotto algebrico dei due fattori è nullo.

Nell'intervallo (-1,0) la prima e la seconda linea sono negative.

Quindi, il loro prodotto algebrico è positivo.

Nel punto 0 la prima funzione è nulla.

Quindi anche il loro prodotto algebrico è nullo. E' un altro zero della funzione f(x).

Nell'intervallo (0,3) la prima linea è positiva mentre la seconda è negativa.

Pertanto, il loro prodotto algebrico è negativo. In questo tratto la funzione f(x) è negativa.

Nel punto 3 c'è uno zero nella seconda linea.

Quindi, il loro prodotto algebrico è nullo. E' un altro zero della funzione.

Infine, nell'intervallo (3,+∞) entrambe le linee sono positive.

Quindi il loro prodotto algebrico è positivo. In questo intervallo la funzione f(x) è positiva.

Quest'ultima linea continua individua gli intervalli di positività della funzione f(x)=x(x²-2x-3), gli zeri e, indirettamente, gli intervalli di negatività.

La funzione è negativa da -∞ a -1, positiva da -1 a 0, negativa da 0 a 3, positiva da 3 a +∞.

Per una rapida verifica ecco il grafico della funzione.

E così via.