Funzioni di due variabili

Cos'è una funzione di due variabili

Una funzione di due variabili fa corrispondere a una coppia di valori x,y (dominio) uno e un solo elemento z (codominio). $$ z=f(x,y) $$

Nelle funzioni reali il dominio (o campo di definizione) è un insieme di coppie ordinate di numeri reali.

$$ R^2 = [(x,y) : x,y \in R] $$

Il codominio è invece un insieme di numeri reali.

$$ f: \: R^2 \rightarrow R $$

Nota. In questo caso la x e la y sono le variabili indipendenti mentre la z è la variabile dipendente. La scelta dei nomi è comunque soggettiva.

Come rappresentare una funzione a due variabili

La rappresentazione nello spazio tridimensionale

Per rappresentare graficamente una funzione a due variabili utilizzo un diagramma cartesiano con tre assi: x,y,z.

Si tratta di un diagramma nello spazio a tre dimensioni.

Il piano (x,y) è il prodotto cartesiano dei numeri reali R² ossia RxR.

Pertanto, il dominio della funzione a due variabili è un sottoinsieme del piano (x,y).

A ciascuna coppia (x,y) del dominio associo un valore sull'asse z=f(x,y).

Pertanto, il codominio della funzione a due variabili è un punto nello spazio a tre dimensioni.

Nota. A ogni valore della funzione a due variabili è associato un punto in uno spazio a tre dimensioni alle coordinate (x,y,z).

La rappresentazione sul piano

Posso anche rappresentare una funzione z=f(x,y) sul piano a due dimensione, mettendo in relazione le variabili a coppia (x,z) e (y,z).

In questo caso occorrono due grafici.

Quest'ultima rappresentazione è utile per mettere in evidenza le relazioni tra le singole variabili indipendenti e la variabile dipendente.

Nota. La variabile indipendente esclusa viene proiettata sul piano delle restanti variabili tramite una proiezione ortogonale.

Un esempio pratico

Ecco un esempio di funzione a due variabili

$$ z= f(x,y) = x^2-y^2 $$

La rappresentazione grafica della funzione nel riferimento cartesiano tridimensionale è la seguente.

Questa figura è detta parabolide iperbolico.

Per rappresentare la funzione sul piano metto a zero prima la variabile x.

$$ z= f(0,y) = -y^2 $$

Poi metto a zero la variabile y.

$$ z= f(x,0) = x^2 $$

In questo modo ottengo la proiezione della funzione sul piano (y,z) e (x,y).

E così via.