Funzioni composte
Cos'è una funzione composta
Una funzione è detta funzione composta quando il suo campo di definizione (dominio) coincide con l'immagine (codominio) di un'altra funzione. $$ h(x) = f(g(x)) $$ Si legge f di g di x.
Spesso la funzione composta è indicata anche con questa notazione
$$ h = f \circ g $$
Si legge f composto g.
Il codominio della funzione g e coincide con il dominio della funzione f.
Nota. L'insieme A è il dominio della funzione g. L'insieme B contiene le immagini della funzione g. Quindi, l'insieme B è sia il codominio della funzione g che il dominio della funzione f. L'insieme C contiene le immagini della funzione f ossia della funzione composta f[g(x)].
Un esempio pratico
Prendo in considerazione due funzioni
$$ f(x) = \frac{1}{x} $$
$$ g(x) = \sin x $$
Considero la funzione h(x) come una funzione composta f(g(x))
$$ h(x) = f(g(x)) = \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{\sin x} $$
Ora il dominio della funzione f è il codominio della funzione g=sin x ossia l'intervallo [0,1]
Il grafico della funzione composta f(g(x)) è il seguente
Le proprietà delle funzioni composte
Alcune proprietà delle funzioni composte
- Le funzioni composte non rispettano la proprietà commutativa. $$ g[f(x)] \ne f[g(x)] $$
Esempio. Ho due funzioni f(x) e g(x)$$ f(x) = x+1 $$$$ g(x) = 2x+3 $$La funzione g[f(x)] è la seguente:$$ g(f(x)) \\ g(x+1) \\ 2(x+1)+3 \\ 2x+5 $$Viceversa, la funzione f[g(x)] è la seguente$$ f(g(x)) \\ f(2x+3) \\ (2x+3)+1 \\ 2x+4 $$ Sono due funzioni diverse.
- Le funzioni composte rispettano la proprietà associativa $$ h \ o \ (g \ o \ f) = ( h \ o \ g ) \ o \ f $$
Esempio. Ho tre funzioni f(x) , g(x) e h(x) $$ f(x) = x+1 $$ $$ g(x) = 2x+3 $$ $$ h(x) = -x $$ La funzione h o (g o f) è la seguente:$$ h \ o \ (g \ o \ f) = h \ o \ [2(x+1)+3] = h \ o \ [2x+5]=-[2x+5]=-2x-5 $$ La funzione (h o g) o f è la seguente$$ (h \ o \ g) \ o \ f = -(2x+3) \ o \ f = -2x-3 \ o \ f = -2(x+1)-3 = -2x-5 $$ Il risultato è lo stesso.
- Se il codominio di f[g(x)] coincide con il dominio di g(x) ossia A=C
allora si può scrivere anche la funzione composta g[f(x)]. Tuttavia, le due funzioni composte in generale non coincidono $$ f[g(x)] \ne g[f(x)] $$ perché le funzioni composte non rispettano la proprietà commutativa. - La funzione composta di una funzione f:A→B con la sua funzione inversa f-1:B→A associa ogni elemento x del dominio a se stesso. $$ f^{-1}[f(x)] = x $$ Questa particolare composizione di funzioni è detta funzione identità.
E così via.
