Spazio campionario
Lo spazio campionario (o spazio dei campioni) è l'insieme di tutti i possibili campioni che possono essere estratti da una popolazione.
Ogni campione è costituito da un sottoinsieme di elementi della popolazione, e lo spazio campionario rappresenta tutti questi sottoinsiemi.
Ad esempio, se ho una popolazione di \(N\) elementi e voglio estrarre campioni di dimensione \(n\), lo spazio campionario include tutte le combinazioni possibili di \(n\) elementi presi dalla popolazione di \(N\) elementi.
Un esempio pratico
Considero una popolazione composta da tre elementi.
$$ \{A, B, C\} $$
Voglio estrarre campioni di dimensione \(n = 2\).
Posso scegliere tra diverse tipologie di campionamento.
A] Campionamento senza ripetizione e senza ordine (combinazioni)
In questo caso, l'ordine (ossia la disposizione) degli elementi nel campione non conta e non posso ripetere gli stessi elementi.
Quindi, lo spazio campionario sarà:
$$ \{\{A, B\}, \{A, C\}, \{B, C\}\} $$
Lo spazio campionario sarà composto dalle combinazioni possibili di 2 elementi presi da 3, cioè \(\binom{N}{n} = \binom{3}{2} = 3\).
$$ \binom{N}{n} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{6}{2} = 3 $$
In totale, ci sono 3 campioni possibili.
B] Campionamento senza ripetizione ma con ordine (disposizioni senza ripetizione)
Infine, se l'ordine conta ma non posso ripetere gli elementi, allora devo considerare le disposizioni di 2 elementi presi da 3, cioè \(A, B, C\).
Lo spazio campionario è il seguente:
$$ \{(A, B), (A, C), (B, A), (B, C), (C, A), (C, B)\} $$
Il numero di campioni possibili è dato dalle disposizioni senza ripetizione.
$$ \frac{N!}{(N-n)!} = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{6}{1} = 6 $$
In totale, ci sono 6 campioni possibili.
C] Campionamento con ripetizione e senza ordine (combinazioni con ripetizione)
Ora considero il caso in cui posso ripetere gli elementi nel campione e l'ordine, ovvero la disposizione degli elementi nel campione, non conta.
In questo caso lo spazio campionario include tutte le coppie ammettendo anche la ripetizione degli stessi elementi.
$$ \{ \{A, A\}, \{A, B\}, \{A, C\}, \{B, B\}, \{B, C\}, \{C, C\} \} $$
Il numero di campioni possibili è dato dalle combinazioni con ripetizione.
$$ \binom{N + n - 1}{n} = \frac{(N + n - 1)!}{n!(N - 1)!} = \binom{3 + 2 - 1}{2} = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6 $$
Complessivamente ci sono 6 campioni possibili nello spazio campionario.
D] Campionamento con ripetizione e con ordine (disposizioni con ripetizione)
Ora considero il caso in cui l'ordine conta e posso ripetere gli elementi nel campione.
In questo caso lo spazio campionario include tutti i campioni ordinati e con ripetizione che posso ottenere.
$$ \{(A, A), (A, B), (A, C), (B, A), (B, B), (B, C), (C, A), (C, B), (C, C)\} $$
In totale, il numero di campioni possibili è dato dalle disposizioni con ripetizione ed è pari a 9.
$$ N^n = 3^2 = 9 $$
In conclusione, questi esempi dimostrano come lo spazio campionario può variare a seconda che considero o meno l'ordine degli elementi e la possibilità di ripetere gli stessi elementi nel campione.
Quanti campioni contiene lo spazio campionario?
Il numero totale di campioni possibili dipende dalla numerosità della popolazione \(N\) e del campione \(n\), dal tipo di estrazione con o senza ripetizione e dal fatto che l'ordine tra gli elementi conti oppure no.
- Ordine conta e campionamento con ripetizione
\(N^n\) - Ordine conta e campionamento senza ripetizione
\(\frac{N!}{(N-n)!}\) (disposizioni semplici) - Ordine non conta e campionamento con ripetizione
\(\binom{N + n - 1}{n}\) (combinazioni con ripetizione) - Ordine non conta e campionamento senza ripetizione
\(\binom{N}{n}\)
Pertanto la formula \(N^n\) per calcolare la numerosità dello spazio campionario si applica solo nel caso di campionamento con ripetizione e quando l'ordine è importante.
Se il campionamento è senza ripetizione o se l'ordine non conta, si utilizza il coefficiente binomiale \(\binom{N}{n}\).
Nota. In generale, lo spazio campionario diventa molto grande se la numerosità della popolazione \(N\) è elevata o se la numerosità del campione \(n\) è relativamente grande.
E così via.
