Esercizio 2 sui generatori dello spazio vettoriale
In questo esercizio verifico se un insieme di vettori dello spazio vettoriale è un sistema di generatori o no.
In uno spazio vettoriale V nel campo nei numeri reali a due dimensioni R2 (il piano).
$$ V = R^2 $$
considero due vettori dello spazio vettoriale
$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} $$
Da questi elementi devo capire se l'insieme dei vettori L genera uno spazio vettoriale di V oppure no.
$$ L = \{ v_1, v_2 \} $$
Prendo un generico vettore dello spazio vettoriale V
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \ \ \in \ R^2 $$
Dove a, b sono due parametri con valori reali qualsiasi.
Scrivo il vettore v come combinazione lineare dei vettori v1, v2
$$ \vec{v} = k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 $$
$$ \vec{v} = k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} $$
I coefficienti scalari k1, k2 sono le incognite del sistema.
Riscrivo l'equazione vettoriale come sistema di equazioni cartesiane
$$ \begin{cases} k_1 + 2k_2 = a \\ \\ 2k_1 - 3 k_2 = b \end{cases} $$
Metto in evidenza k1 nella prima equazione e lo sostituisco nella seconda equazione
$$ \begin{cases} k_1 = a - 2k_2 \\ \\ 2(a - 2k_2) - 3 k_2 = b \end{cases} $$
$$ \begin{cases} k_1 = a - 2k_2 \\ \\ 2a - 4k_2 - 3 k_2 = b \end{cases} $$
$$ \begin{cases} k_1 = a - 2k_2 \\ \\ 2a - 7k_2 = b \end{cases} $$
Ora metto in evidenza k2 nella seconda equazione e lo sostituisco nella prima
$$ \begin{cases} k_1 = a - 2k_2 \\ \\ - 7k_2 = b - 2a \end{cases} $$
$$ \begin{cases} k_1 = a - 2k_2 \\ \\ k_2 = \frac{2a - b}{7} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} k_1 = a - 2( \frac{2a - b}{7} ) \\ \\ k_2 = \frac{2a - b}{7} \end{cases} $$
Non devo procedere oltre nei calcoli perché è già evidente che per ogni coppia di valori (a,b) il sistema ha una soluzione.
Essendoci almeno una soluzione, i vettori v1, v2 sono un sistema di generatori dello spazio vettoriale V.
E così via
