Esercizio 1 sui generatori dello spazio vettoriale
In questo esercizio devo verificare se un insieme di vettori di uno spazio vettoriale sono un sistema di generatori oppure no.
Considero uno spazio vettoriale V nel campo nei numeri reali a due dimensioni R2 (il piano).
$$ V = R^2 $$
e tre vettori dello spazio vettoriale
$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
L'insieme dei vettori genera uno spazio vettoriale di V oppure no?
$$ L = \{ v_1, v_2, v_3 \} $$
Prendo un generico vettore dello spazio vettoriale V
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \ \ \in \ R^2 $$
Dove a, b sono due parametri con valori reali qualsiasi.
Devo verificare se il vettore v si può scrivere come combinazione lineare dei vettori v1, v2, v3
$$ \vec{v} = k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v}_3 $$
$$ \vec{v} = k_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
I coefficienti scalari k1, k2, k3 sono le incognite del problema.
Trasformo l'equazione vettoriale in un sistema di equazioni
$$ \begin{cases} 2 k_1 + k_3 = a \\ \\ k_1 + 3 k_2 - k_3 = b \end{cases} $$
Metto in evidenza k3 e cerco di risolvere il sistema con il metodo della sostituzione
$$ \begin{cases} k_3 = a - 2 k_1 \\ \\ k_1 + 3 k_2 - (a - 2 k_1) = b \end{cases} $$
$$ \begin{cases} k_3 = a - 2 k_1 \\ \\ 3 k_1 + 3 k_2 = a + b \end{cases} $$
$$ \begin{cases} k_3 = a - 2 k_1 \\ \\ k_2 = \frac{ a + b - 3 k_1 }{ 3 } \end{cases} $$
Il sistema ha infinite soluzioni perché posso variare liberamente il parametro k1 per ogni coppia (a,b).
Essendoci almeno una soluzione, i vettori v1, v2, v3 sono un sistema di generatori dello spazio vettoriale V.
E così via
