Studio della serie $ \sum_{k=1}^{+\infty} \sqrt[k]{3} $

Devo studiamo la serie numerica 

$$ \sum_{k=1}^{+\infty} \sqrt[k]{3} $$

Per prima cosa verifico la natura del termine generale

$$ a_k = \sqrt[k]{3} = 3^{1/k} $$

Posso riscrivere termine generale in questa forma equivalente:

$$ a_k = \sqrt[k]{3} = 3^{1/k} $$

Poi studio il limite del termine generale per k  che tende a infinito.

$$ \lim_{k \to \infty} 3^{1/k}  $$

Riscrivo il limite in questa forma equivalente con i logaritmi.

$$ \lim_{k \to \infty} e^{ \ln { 3^{1/k} } }  $$

Poi applico le proprietà dei logaritmi

$$ \lim_{k \to \infty} e^{ \frac{1}{k} \ln { 3 } }  $$

Poiché $\ln(3)$ è costante e $k \to \infty$, l'esponente tende a zero $ \frac{\ln(3)}{k} \to 0 $

Sapendo che l'esponenziale $ e^0 = 1 $, deduco che il limite del termine generale tende a 1.

$$ \lim_{k \to \infty} e^{ \frac{1}{k} \ln { 3 } } = 1  $$

Quindi il termine generale della serie non tende a zero e questo è un punto cruciale.

$$ \lim_{k \to \infty} 3^{1/k} = 1 $$

In base al criterio di convergenza, una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza di una serie $\sum a_k$ è che il limite del termine generale sia nullo

$$ \lim_{k \to \infty} a_k = 0 $$

In questo caso il limite del termine generale è diverso da zero, quindi deduco che la serie diverge.

$$ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{3} = 1 \ne 0 $$

Pertanto, la serie è divergente.

$$ \sum_{k=1}^{+\infty} \sqrt[k]{3} \quad \text{diverge} $$

E così via.