La radice quadrata
La radice quadrata di un numero x è un valore y che, quando moltiplicato per se stesso, produce il numero x. $$ y = \sqrt{x} $$
In altre parole, la radice quadrata è una radice di indice 2.
Il numero x o l'espressione dentro la radice è detto radicando mentre il risultato è detto radice quadrata.
Ad esempio, la radice quadrata di 16 è ±4 perché (±4)2 elevato alla seconda è uguale al radicando 16.
$$ \sqrt{16} = \pm 4 $$
In aritmetica si considera come radice solo il risultato positivo (es. +4) mentre in algebra occorre considerarli entrambi, sia quello con segno positivo che quello con segno negativo (es. ±4).
Nota. Il calcolo della radice quadrata risale alle prime civiltà antiche. I Babilonesi, già nel 2000 a.C., avevano metodi per calcolare le radici quadrate. Successivamente i filosofi e matematici greci, come Pitagora e Euclide, le utilizzarono per dimostrare i primi teoremi. Ad esempio, il teorema di Pitagora si basa sulle radici quadrate.
La radice di un numero reale è definita solo se il radicando è positivo (a≥0).
$$ \sqrt{a} $$
Nei numeri complessi, invece, la radice quadrata è definita anche se il radicando è un numero negativo.
I metodi di calcolo
Ci sono vari metodi per calcolare la radice quadrata di un numero:
- Metodo babilonese (o Metodo di Erode)
Questo è un metodo iterativo che inizia con una stima e la affina attraverso ripetute approssimazioni. - Metodo di estrazione
Simile alla divisione lunga, questo metodo "estrae" la radice quadrata cifra per cifra. - Serie di Taylor o Maclaurin
Questi metodi matematici avanzati utilizzano serie infinite per approssimare radici quadrate, specialmente per valori vicini a un punto specifico.
Le proprietà delle radici quadrate
Molte proprietà delle radici quadrate sono simili a quelle dei radicali in generale.
- La radice quadrata di zero è zero. $$ \sqrt{0} = 0 $$
- La radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate: $$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $$
- La radice quadrata di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate: $$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \text{ con } b \neq 0 $$
- La radice quadrata di un quadrato è il valore assoluto del numero originale: $$ \sqrt{a^2} = |a| $$
- I numeri reali negativi non hanno una radice quadrata reale, perché nessun numero reale moltiplicato per se stesso dà un risultato negativo
Le radici quadrate nei numeri complessi
A differenza dei numeri reali negativi, si può calcolare la radice quadrata su qualsiasi numero complesso z=a+bi.
In altre parole, la radice quadrata ha il dominio nell'insieme dei numeri complessi.
Questo perché la radice quadrata di -1 è l'unità immaginaria dei numeri complessi.
$$ i = \sqrt{-1} $$
ovvero
$$ i^2 = -1 $$
Ad esempio, provo a calcolare la radice quadrata del numero reale -25
$$ \sqrt{-25} $$
Essendo un numero reale non posso procedere perché la radice quadrata non è definita nei numeri reali negativi.
Posso però riscrivere il radicando -25 come prodotto tra -1 e 25 usando i numeri complessi.
$$ \sqrt{-1 \cdot 25} $$
Per una proprietà dei radicali la radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate
$$ \sqrt{-1} \cdot \sqrt{25} $$
La radice quadrata di 25 è uguale a 5
$$ \sqrt{-1} \cdot 5 $$
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria i2=-1 è uguale a -1
$$ \sqrt{i^2} \cdot 5 $$
Quindi, semplifico e ottengo il risultato finale
$$ i \cdot 5 $$
La radice quadrata di -25 è il numero complesso 5i
$$ \sqrt{-25} = 5i $$
E così via.
