La radice quadrata

La radice quadrata di un numero x è un valore y che, quando moltiplicato per se stesso, produce il numero x. $$ y = \sqrt{x} $$

In altre parole, la radice quadrata è una radice di indice 2.

Il numero x o l'espressione dentro la radice è detto radicando mentre il risultato è detto radice quadrata.

Ad esempio, la radice quadrata di 16 è 4 perché (4)² elevato alla seconda è uguale al radicando 16.

$$ \sqrt{16} =  4 $$

In aritmetica si considera come radice solo il risultato positivo (es. +4) per convenzione.

Nota. Il calcolo della radice quadrata risale alle prime civiltà antiche. I Babilonesi, già nel 2000 a.C., avevano metodi per calcolare le radici quadrate. Successivamente i filosofi e matematici greci, come Pitagora e Euclide, le utilizzarono per dimostrare i primi teoremi. Ad esempio, il teorema di Pitagora si basa sulle radici quadrate.

In generale, la radice di un numero reale è definita solo se il radicando è positivo (a≥0).

$$ \sqrt{a} $$

Nei numeri complessi, invece, la radice quadrata è definita anche se il radicando è un numero negativo.

Perché si considera solo il risultato positivo?

Si tratta di una convenzione matematica che permette di considerare la radice quadrata come una funzione matematica f(x) definita nel dominio dei numeri reali non negativi (x≥0).

$$ y = \sqrt{x} $$

Per ogni valore della variabile indipendente $ x $ una funzione deve restituire uno e un solo valore della variabile dipendente $ y $.

Un'altra ragione deriva dal fatto che un'equazione di primo grado può avere al più una soluzione.

Ad esempio, questa equazione è di primo grado (lineare) perché l'esponente della variabile incognita è 1 e ha come soluzione solo $ x=4 $

$$ x - \sqrt{16} = 0 \Rightarrow x = 4 $$

Il discorso cambia nelle equazioni di secondo grado

Quando si risolve un'equazione di secondo grado, occorre considerare entrambi i risultati, sia quello con segno positivo che quello con segno negativo (es. ±4) perché un'equazione di secondo grado può avere al massimo due risultati.

$$ x^2 - \sqrt{16} = 0  \Rightarrow x = \pm \sqrt{16} = \pm 2 $$

Quest'ultima è un'equazione di 2° grado del tipo $ ax^2 + bx + c = 0 $ con $ a=1 $, $ b=0 $, $ c = -\sqrt{x} $ che si risolve con la classica formula:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{0 \pm \sqrt{0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\sqrt{16})}}{2 \cdot 1} $$

$$ x = \frac{\pm \sqrt{4 \sqrt{16})}}{2} $$

$$ x = \frac{\pm \sqrt{4 \cdot 4)}}{2} $$

$$ x = \frac{\pm 4}{2} = \pm 2 $$

In questo caso i risultati sono due $ x=2 $ e $ x=-2 $.

I metodi di calcolo

Ci sono vari metodi per calcolare la radice quadrata di un numero:

• Metodo babilonese (o Metodo di Erode)
  Questo è un metodo iterativo che inizia con una stima e la affina attraverso ripetute approssimazioni.
• Metodo di estrazione
  Simile alla divisione lunga, questo metodo "estrae" la radice quadrata cifra per cifra.
• Serie di Taylor o Maclaurin
  Questi metodi matematici avanzati utilizzano serie infinite per approssimare radici quadrate, specialmente per valori vicini a un punto specifico.

Le proprietà delle radici quadrate

Molte proprietà delle radici quadrate sono simili a quelle dei radicali in generale.

• La radice quadrata di zero è zero. $$ \sqrt{0} = 0 $$
• La radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate: $$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $$
• La radice quadrata di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate: $$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \text{ con } b \neq 0 $$
• La radice quadrata di un quadrato è il valore assoluto del numero originale: $$ \sqrt{a^2} = |a| $$
• I numeri reali negativi non hanno una radice quadrata reale, perché nessun numero reale moltiplicato per se stesso dà un risultato negativo

Le radici quadrate nei numeri complessi

A differenza dei numeri reali negativi, si può calcolare la radice quadrata su qualsiasi numero complesso z=a+bi.

In altre parole, la radice quadrata ha il dominio nell'insieme dei numeri complessi.

Questo perché la radice quadrata di -1 è l'unità immaginaria dei numeri complessi.

$$ i = \sqrt{-1} $$

ovvero

$$ i^2 = -1 $$

Ad esempio, provo a calcolare la radice quadrata del numero reale -25

$$ \sqrt{-25} $$

Essendo un numero reale non posso procedere perché la radice quadrata non è definita nei numeri reali negativi.

Posso però riscrivere il radicando -25 come prodotto tra -1 e 25 usando i numeri complessi.

$$ \sqrt{-1 \cdot 25} $$

Per una proprietà dei radicali la radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate

$$ \sqrt{-1} \cdot \sqrt{25} $$

La radice quadrata di 25 è uguale a 5

$$ \sqrt{-1} \cdot 5 $$

Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria i²=-1 è uguale a -1

$$ \sqrt{i^2} \cdot 5 $$

Quindi, semplifico e ottengo il risultato finale

$$ i \cdot 5 $$

La radice quadrata di -25 è il numero complesso 5i

$$ \sqrt{-25} = 5i $$

E così via.