Il calcolo della radice quadrata con la serie di MacLaurin

La serie di Maclaurin per la funzione $$ f(x) = \sqrt{x} $$ non può essere direttamente derivata come per molte altre funzioni, poiché la funzione radice quadrata non è analitica in x=0.

Tuttavia, posso derivare una serie di Maclaurin per la funzione $$ f(x) = \sqrt{1 + x} $$ e poi utilizzare trasformazioni appropriate per adattarla ad altre forme.

La serie di Maclaurin per f(x)=√(1+x) è la seguente

$$ \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{1}{128}x^4 + \dots $$

Questa serie converge per |x| < 1

Volendo potrei lavorare con una serie di potenze per x attorno a un altro punto diverso da x=1 oppure una forma diversa della serie di f(x)=√(1+x) , usando tecniche diverse e le relative trasformazioni più appropriate.

Un esempio pratico

Provo a calcolare la radice quadrata di 50 utilizzando la serie di Maclaurin per f(x)=√(1+x)

$$ \sqrt{50} $$

Per prima cosa, esprimo 50 in una forma che sia adatta per la serie f(x)=√(1+x)

Una possibile strategia è esprimere 50 come 25(1 + x) con x=1.

$$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot (1+x)} \ \ \ \text{con} \ x=1 $$

$$ \sqrt{50} = \sqrt{5^2 \cdot (1+x)} $$

$$ \sqrt{50} = 5 \cdot \sqrt{1+x} $$

In questo modo posso calcolare la serie di MacLaurin di √(1+x) con x=1

$$ \sqrt{50} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{1}{128}x^4 + \dots \end{pmatrix} $$

Sostituisco x=1

$$ \sqrt{50} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{8}\cdot 1^2 + \frac{1}{16}\cdot 1^3 - \frac{1}{128}\cdot 1^4 + \dots \end{pmatrix} $$

$$ \sqrt{50} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \frac{1}{128} \dots \end{pmatrix} $$

Per non allungare troppo i calcoli, utilizzo la serie fino a n=4

$$ \sqrt{50} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \frac{1}{128} \end{pmatrix} $$

Calcolo i singoli valori e li sommo tra loro

$$ \sqrt{50} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 + 0,5 - 0,125 + 0.0625 - 0.0078125 \end{pmatrix} $$

$$ \sqrt{50} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1,4140625 \end{pmatrix} $$

$$ \sqrt{50} = 7,0703125 $$

Quindi, la radice quadrata di 50 è approssimativamente 7,0703125 usando la serie di MacLaurin.

Il valore reale della radice √50 è circa 7.0710678, quindi l'approssimazione usando solo i primi cinque termini della serie di Maclaurin è ragionevolmente vicina.

Se includessi più termini nella serie di MacLaurin, l'approssimazione sarebbe ancora più precisa.

E così via.