Il campo in algebra
In algebra un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto S e da due operazioni binarie interne dette somma (+) e prodotto (*) che soddisfano le stesse proprietà dei numeri reali. $$ (S,+,·) $$
Le proprietà di un campo
L'insieme S con l'operazione + (addizione) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0
- (a+b)+c=a+(b+c)
- a+b=b+a
- 0+a=a+0=a
- a+(-a)=-a+a=0
L'insieme S senza l'elemento nullo {0} con l'operazione · (moltiplicazione) è un gruppo abeliano con elemento neutro 1
- (a·b)·c=a·(b·c)
- a·b=b·a
- 1·a=a·1=a
- a·a-1=a-1·a=1
La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione.
- a·(b+c)=(a·b)+(a·c)
Differenza tra anello commutativo e campo
Un anello commutativo con unità è un campo se ogni elemento non nullo ha un inverso.
Esempio
L'anello composto dall'insieme Zn delle classi di resto modulo n e dalla somma e il prodotto è un esempio di anello commutativo con unità.
$$ (Z_n, +, · ) $$
Non è però detto che ogni elemento abbia un inverso.
Tuttavia, se il modulo n è un numero primo allora l'anello è anche un campo perché tutte le classi non nulle sono classi invertibili.
Ad esempio, se n=5
$$ Z_5 = \{ \bar{0} , \bar{1} , \bar{2} , \bar{3} , \bar{4}, \} $$
Tutte le classi non nulle di Z5 hanno una classe inversa
$$ U(Z_5) = \{ \bar{1} , \bar{2} , \bar{3} , \bar{4}, \} $$
Pertanto, in questo caso l'anello commutativo è anche un campo.
E così via.
