Il campo in algebra

In algebra un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto S e da due operazioni binarie interne dette somma (+) e prodotto (*) che soddisfa le stesse proprietà dei numeri reali. $$ (S,+,·) $$

Le proprietà di un campo

L'insieme S con l'operazione + è un gruppo abeliano con elemento neutro 0

  • (a+b)+c=a+(b+c)
  • a+b=b+a
  • 0+a=a+0=a
  • a+(-a)=-a+a=0

L'insieme S senza l'elemento nullo {0} è un gruppo abeliano con elemento neutro 1

  • (a·b)·c=a·(b·c)
  • a·b=b·a
  • 1·a=a·1=a
  • a·a-1=a-1·a=a

La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione.

  • a·(b+c)=(a·b)+(a·c)

Differenza tra anello commutativo e campo

Un anello commutativo con unità è un campo se ogni elemento non nullo ha un inverso.

Esempio

L'anello composto dall'insieme Zn delle classi di resto modulo n e dalla somma e il prodotto è un esempio di anello commutativo con unità.

$$ (Z_n, +, · ) $$

Non è però detto che ogni elemento abbia un inverso.

Tuttavia, se il modulo n è un numero primo allora l'anello è anche un campo perché tutte le classi non nulle sono classi invertibili.

Ad esempio, se n=5

$$ Z_5 = \{ \bar{0} , \bar{1} , \bar{2} , \bar{3} , \bar{4}, \} $$

Tutte le classi non nulle di Z5 hanno una classe inversa

$$ U(Z_5) = \{ \bar{1} , \bar{2} , \bar{3} , \bar{4}, \} $$

Pertanto, in questo caso l'anello commutativo è anche un campo.

E così via.

 


 

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