Esercizio studio del limite 5
In questo esercizio devo studiare il limite della funzione
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x} $$
Il dominio della funzione è
$$ D_f = (-1,0) \cup (0, +\infty) $$
Il punto x=0 è un punto di accumulazione della funzione. Quindi posso procedere con lo studio del limite.
Il limite è una forma indeterminata 0/0
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x} = \frac{0}{0} $$
Per risolvere il limite devo eliminare la forma indeterminata 0/0.
Esistono diverse strade per risolvere il limite.
Ad esempio, moltiplico e divido la funzione per 2.
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x} \cdot \frac{2}{2} $$
Per la regola del prodotto del logaritmo a·log(b)=log(ba)
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \cdot \log \sqrt{x+1}}{x} \cdot \frac{1}{2} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \log (\sqrt{x+1})^2 }{x} \cdot \frac{1}{2} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \log (x+1) }{x} \cdot \frac{1}{2} $$
Il termine 1/2 è una costante e può uscire dal limite
$$ \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \log (x+1) }{x} $$
In questo modo ho ricondotto il limite al limite notevole log(x+1)/x = 1
$$ \frac{1}{2} \cdot 1 $$
$$ \frac{1}{2} $$
Pertanto, il limite è 1/2
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x} = \frac{1}{2} $$
Nota. Essendo una forma indeterminata 0/0 potevo risolvere il limite anche con il teorema di L'Hopital. $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[\log \sqrt{x+1}]}{D[x]} $$ Al denominatore c'è una semplice derivata D[x]=1. $$ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[\log \sqrt{x+1}]}{1} $$ $$ = \lim_{x \rightarrow 0} D[\log \sqrt{x+1}] $$ Al numeratore c'è la derivata di una funzione composta. Quindi calcolo la derivata del logaritmo per la derivata del suo argomento ossia la derivata della radice quadrata $$ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} $$ $$ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2 \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+1} } $$ $$ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2 (x+1) } $$ $$ = \frac{1}{2} $$
Metodo alternativo
Per risolvere il limite posso seguire anche un'altra strada.
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x} $$
E' un po' più lunga e complessa ma è utile per esercitarsi.
Cerco di ricondurla al limite notevole log(x+1)/x.
Sommo e sottraggo 1 nell'argomento del logaritmo.
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log [ 1-1 + \sqrt{x+1}]}{x} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log [ 1 + ( \sqrt{x+1} - 1)]}{x} $$
Ora moltiplico e divido per √(x+1)-1
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log [ 1 + ( \sqrt{x+1} - 1)]}{x} \cdot \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ \sqrt{x+1} - 1} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log [ 1 + ( \sqrt{x+1} - 1)]}{\sqrt{x+1} - 1} \cdot \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ x} $$
La prima componente è un limite notevole generalizzato log(1+f)/f = 1
Dove f=√(x+1)-1 è una funzione infinitesima per x→0
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log [ 1 + ( \sqrt{x+1} - 1)]}{\sqrt{x+1} - 1} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ x} $$
$$ 1 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ x} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ x} $$
Ho eliminato il logaritmo ma il limite è ancora una forma indeterminata 0/0
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ x} = \frac{0}{0} $$
Per uscire dalla forma indeterminata moltiplico e divido per il numeratore trasformando la differenza in somma
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x+1} - 1 }{ x} \cdot \frac{ \sqrt{x+1} + 1 }{ \sqrt{x+1} + 1} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ (\sqrt{x+1} - 1) \cdot (\sqrt{x+1} + 1) }{ x \cdot (\sqrt{x+1} + 1) } $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x+1} \sqrt{x+1} + \sqrt{x+1} - \sqrt{x+1} -1 }{ x \cdot (\sqrt{x+1} + 1) } $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ x+1 -1 }{ x \cdot (\sqrt{x+1} + 1) } $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ x }{ x \cdot (\sqrt{x+1} + 1) } $$
Semplifico la x al numeratore e denominatore
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 }{ \sqrt{x+1} + 1 } $$
Ora il limite per x→0 è calcolabile
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 }{ \sqrt{x+1} + 1 } = \frac{1}{2} $$
Il limite della funzione è 1/2.
Nota. Questo dimostra che un limite può essere risolto seguendo varie strade con tecniche diverse. Alcune sono più facili e rapide, altre più complesse e lunghe. Il risultato finale è comunque sempre lo stesso.
E così via.
