Esercizio serie 2

Verifico il carattere della serie

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} $$

E' una serie a termini non negativi. Pertanto, non può essere indeterminata. La serie è convergente o divergente.

Verifico se soddisfa la condizione necessaria di convergenza.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1} = 0 $$

Il limite del termine generale è infinitesimo. Quindi, la serie soddisfa la condizione necessaria di convergenza.

Non potendo escludere che sia convergente, devo verificare il carattere della serie con uno dei criteri di convergenza delle serie a termini non negativi.

Provo con il criterio del rapporto.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)+1}}{\frac{1}{n+1}} $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n+2} = \frac{ \infty }{ \infty } $$

Il limite è una forma indeterminata ∞/∞. Quindi applico il teorema di de L'Hopital.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{D[n+1]}{D[n+2]} = \frac{ 1 }{ 1 } = 1 $$

Il limite è uguale a 1. Pertanto, il criterio del rapporto non mi permette di dire nulla sul carattere della serie.

Provo a usare il criterio degli infinitesimi.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} n^p \frac{1}{n+1} = 0 $$

Per p>1 il limite è infinito. Quindi, non posso affermare nulla.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^p}{n+1} = \infty $$

Per p=1 il limite è diverso da zero.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^1}{n+1} = \frac{\infty}{\infty} $$

Applico de L'Hopital

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{D[n^1]}{D[n+1]} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1} = 1 $$

Pertanto, essendo p≤1 e l≠0, per il criterio degli infinitesimi posso affermare che la serie (rossa) è divergente.

Soluzione

La serie è divergente

E così via.