Esercizio serie 3
Dimostrare che la serie geometrica è uguale al rapporto 1-xn+1/(1-x)
$$ \sum_{k=0}^n x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} $$
ossia
$$ 1 + x + x^2 + ... + x^n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} $$
Questa relazione di uguaglianza si dimostra per induzione.
Il passo induttivo P(0) per n=0 è verificato
$$ P(0) \ \ \ \sum_{k=0}^0 x^k = \frac{1-x^{0+1}}{1-x} $$
$$ P(0) \ \ \ x^0 = \frac{1-x}{1-x} $$
$$ P(0) \ \ \ 1 = 1 $$
Per ipotesi considero vera la seguente P(n)
$$ P(n) \ \ \ \sum_{k=0}^n x^n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} $$
Ora devo dimostrare che il passo induttivo P(n+1) è vero.
$$ P(n+1) \ \ \ \sum_{k=0}^{n+1} x^n = \frac{1 - x^{n+2}}{1-x} $$
Se è vero il passo induttivo P(n+1) allora l'ipotesi P(n) è confermata.
Per dimostrarlo riscrivo P(n+1) a partire da P(n) che per ipotesi è vera, addizionando xn+1 a entrambi i membri dell'equazione.
$$ P(n+1) \ \ \ \sum_{k=0}^n x^n + x^{n+1} = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + x^{n+1} $$
$$ P(n+1) \ \ \ \sum_{k=0}^{n+1} x^n = \frac{1-x^{n+1}+ x^{n+1} \cdot (1-x)}{1-x} $$
$$ P(n+1) \ \ \ \sum_{k=0}^{n+1} x^n = \frac{1-x^{n+1}+ x^{n+1} - x^{n+1} \cdot x}{1-x} $$
$$ P(n+1) \ \ \ \sum_{k=0}^{n+1} x^n = \frac{1 - x^{n+2}}{1-x} $$
Ho dimostrato P(n+1) a partire da P(n).
E così via.
