Esercizio sugli anelli 4

Devo verificare se l'applicazione f(x)=3x è un omomorfismo tra gli anelli (Z6,+,*) e (Z6',+,*) dove le operazioni + e * sono l'addizione e la moltiplicazione modulo 6

Per prima cosa costruisco la tavola dell'addizione modulo 6

a +6 b 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4

Poi costruisco la tavola della moltiplicazione modulo 6.

a ·6 b 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1

Ora verifico se l'applicazione soddisfa la prima proprietà degli omomorfismi

$$ f(a + b)=f(a) + f(b) $$

$$ 3 \cdot (a + b)= 3a + 3b $$

$$ 3 \cdot (a + b)= 3 \cdot (a + b) $$

La prima proprietà è soddisfatta.

Infine, verifico se l'applicazione f(x) soddisfa anche la proprietà del prodotto degli omomorfismi

$$ f(a \cdot b)=f(a) \cdot f(b) $$

$$ 3 \cdot (a \cdot b)= 3a \cdot 3b $$

Applico la proprietà associativa al secondo membro

$$ 3 \cdot (a \cdot b)= 3 \cdot ( a \cdot b) $$

Anche la seconda proprietà degli omomorfismi è soddisfatta

Quindi, l'applicazione f(x)=3x è un omomorfismo tra gli anelli (Z6,+,*) e (Z6,+,*)

Verifica

Essendo un insieme finito con pochi elementi, scrivo le tabelle delle operazioni dell'omomorfismo per completezza

Nel caso dell'addizione le due tabelle 3(a+b) e 3a+3b sono uguali

3(a +6 b) 0 1 2 3 4 5
0 0 3 0 3 0 3
1 3 0 3 0 3 0
2 0 3 0 3 0 3
3 3 0 3 0 3 0
4 0 3 0 3 0 3
5 3 0 3 0 3 0

3a +6 3b 0 1 2 3 4 5
0 0 3 0 3 0 3
1 3 0 3 0 3 0
2 0 3 0 3 0 3
3 3 0 3 0 3 0
4 0 3 0 3 0 3
5 3 0 3 0 3 0

Anche nel caso della moltiplicazione le due tabelle 3(a·b) e 3a·3b sono uguali

3(a ·6 b) 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 3 0 3 0 3
2 0 0 0 0 0 0
3 0 3 0 3 0 3
4 0 0 0 0 0 0
5 0 3 0 3 0 3

3a ·6 3b 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 3 0 3 0 3
2 0 0 0 0 0 0
3 0 3 0 3 0 3
4 0 0 0 0 0 0
5 0 3 0 3 0 3

Questa verifica completa dimostra la soluzione precedente.

L'applicazione f(x)=3x è un omomorfismo tra gli anelli (Z6,+,*) e (Z6,+,*)

E così via.

 


 

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