Esercizio sugli anelli 4
Devo verificare se l'applicazione f(x)=3x è un omomorfismo tra gli anelli (Z6,+,*) e (Z6',+,*) dove le operazioni + e * sono l'addizione e la moltiplicazione modulo 6
Per prima cosa costruisco la tavola dell'addizione modulo 6
a +6 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 |
3 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 |
4 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 |
5 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Poi costruisco la tavola della moltiplicazione modulo 6.
a ·6 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
4 | 0 | 4 | 2 | 0 | 4 | 2 |
5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Ora verifico se l'applicazione soddisfa la prima proprietà degli omomorfismi
$$ f(a + b)=f(a) + f(b) $$
$$ 3 \cdot (a + b)= 3a + 3b $$
$$ 3 \cdot (a + b)= 3 \cdot (a + b) $$
La prima proprietà è soddisfatta.
Infine, verifico se l'applicazione f(x) soddisfa anche la proprietà del prodotto degli omomorfismi
$$ f(a \cdot b)=f(a) \cdot f(b) $$
$$ 3 \cdot (a \cdot b)= 3a \cdot 3b $$
Applico la proprietà associativa al secondo membro
$$ 3 \cdot (a \cdot b)= 3 \cdot ( a \cdot b) $$
Anche la seconda proprietà degli omomorfismi è soddisfatta
Quindi, l'applicazione f(x)=3x è un omomorfismo tra gli anelli (Z6,+,*) e (Z6,+,*)
Verifica
Essendo un insieme finito con pochi elementi, scrivo le tabelle delle operazioni dell'omomorfismo per completezza
Nel caso dell'addizione le due tabelle 3(a+b) e 3a+3b sono uguali
3(a +6 b) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
1 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
2 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
3 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
4 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
5 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
3a +6 3b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
1 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
2 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
3 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
4 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
5 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
Anche nel caso della moltiplicazione le due tabelle 3(a·b) e 3a·3b sono uguali
3(a ·6 b) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
5 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
3a ·6 3b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
5 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
Questa verifica completa dimostra la soluzione precedente.
L'applicazione f(x)=3x è un omomorfismo tra gli anelli (Z6,+,*) e (Z6,+,*)
E così via.