Il nucleo (o Ker) di un omomorfismo
Il nucleo di un omomorfismo tra due anelli (R,+,*) e (R',+,*) è un sottoinsieme di R composto da tutti gli elementi che hanno un'immagine uguale a zero in R'. E' anche detto Ker φ. $$ Ker \ φ = \{ r \in R \ | \ φ(r) = 0_{R'} \} $$
A sua volta il nucleo (Ker) è un sottoanello.
Inoltre, se moltiplico un qualunque elemento di R per un elemento del Ker, da destra o da sinistra, ottengo sempre un altro elemento del Ker.
$$ φ(k \cdot r) = φ(k) \cdot \phi(r) = 0 \cdot φ(r) = 0 $$
Dove 0 è un elemento del Ker di φ(r)
$$ 0 \in \ Ker \ φ $$
Un esempio pratico
Considero l'anello (Z6,+,*) e l'anello (Z3,+,*)
Dove Zn è un anello di numeri interi modulo n.
$$ Z_6 = \{ 0,1,2,3,4,5 \} $$
$$ Z_3 = \{ 0,1,2 \} $$
Un omomorfismo da Z6 a Z3 è l'applicazione
$$ φ(x) = n \ mod \ 3 $$
Il nucleo dell'omorfismo di φ è l'insieme {0,3} in Z6 poiché tutti questi elementi sono mappati sull'elemento neutro di Z3 (ossia φ(x) = 0Z3) dall'applicazione φ.
E così via
