Omomorfismo di anelli
Un omomorfismo di R in R' tra due anelli (R,+,*) e (R',+,*) è ogni applicazione φ da R a R' $$ φ \ : \ R \rightarrow R' $$ tale che $$ φ(a+b)=φ(a)+φ(b) \ \ \ \forall \ a, b \in R $$ $$ φ(a \cdot b) = φ(a) \cdot φ(b) \ \ \ \forall \ a, b \in R $$
Un omomorfismo è detto
- automorfismo se l'insieme R=R'
- monomorfismo se l'applicazione φ è iniettiva
- epimorfismo se l'applicazione φ è suriettiva
- isomorfismo se l'applicazione è sia iniettiva che suriettiva (ossia se è biettiva)
Un esempio pratico
Uno dei più semplici omomorfismi di anelli è l'omomorfismo nullo.
Si tratta di un'applicazione che collega ogni elemento di R all'elemento nullo di R'
$$ y = φ(x) = x \cdot 0 $$
La somma soddisfa la proprietà degli omomorfismi per qualsiasi coppia di elementi di R
$$ φ(a+b)=φ(a)+φ(b) \ \ \ \forall \ a, b \in R $$
Esempio. Se considero due elementi a=2 e b=3 di R $$ φ(2+3)=φ(5)=5 \cdot 0 = 0 $$ $$ φ(2)+φ(3)= 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 $$ Il risultato è lo stesso ossia zero.
Il prodotto soddisfa la proprietà degli omomorfismi per qualsiasi coppia di elementi di R
$$ φ(a \cdot b) = φ(a) \cdot φ(b) \ \ \ \forall \ a, b \in R $$
Esempio. Se considero due elementi a=2 e b=3 di R $$ φ(2 \cdot 3)=φ(6)=6 \cdot 0 = 0 $$ $$ φ(2) \cdot φ(3)= 2 \cdot 0 \cdot 3 \cdot 0 = 0 $$ Il risultato è lo stesso ossia zero.
Pertanto, la corrispondenza è un omomorfismo di anelli.
Esempio 2
Questa applicazione non è un omomorfismo di R in R'
$$ y = φ(x) = 4 \cdot x $$
La somma soddisfa la proprietà degli omomorfismi per qualsiasi coppia di elementi di R
$$ φ(a+b)=φ(a)+φ(b) \ \ \ \forall \ a, b \in R $$
Esempio. Se considero due elementi a=2 e b=3 di R $$ φ(2+3)=φ(2)+φ(3) $$ $$ φ(5)=φ(2)+φ(3) $$ Sapendo che φ(x)=4x $$ 20=8+12 $$
Tuttavia, il prodotto NON soddisfa la proprietà degli omomorfismi per qualsiasi coppia di elementi di R
$$ φ(a \cdot b) = φ(a) \cdot φ(b) \ \ \ \forall \ a, b \in R $$
Esempio. Se considero due elementi a=4 e b=5 di R $$ φ(4 \cdot 5)=φ(4) \cdot φ(5) $$ $$ φ(20)=φ(4) \cdot φ(5) $$ Sapendo che φ(x)=4x $$ 20 \cdot =4 \cdot 4 + 5 \cdot 4 $$ $$ 80 \ne 36 $$
Il nucleo (o Ker)
Il nucleo di un omomorfismo tra due anelli (R,+,*) e (R',+,*) è un sottoinsieme di R composto da tutti gli elementi che hanno un'immagine uguale a zero in R'. E' anche detto Ker φ. $$ Ker \ φ = \{ r \in R \ | \ φ(r) = 0_{R'} \} $$
Osservazioni
Alcune osservazioni sugli anelli
- In un omomorfismo tra due anelli (R,+,*) e (R',+,*) l'immagine dello zero di R in R' è sempre zero. $$ φ(0)=0 $$
Esempio. Se considero lo zero di R e lo sommo o lo moltiplico per se stesso ottengo lo zero di R' $$ φ(0_R+0_R)= φ(0_R)+φ(0_R)=0_{R'} + 0_{R'} = 0_{R'} $$ $$ φ(0_R \cdot 0_R)=φ(0_R) \cdotφ(0_R) = 0_{R'} \cdot 0_{R'} = 0_{R'} $$
E così via.