Esercizio sugli anelli 1
Devo verificare se l'insieme degli interi Z5={0, 1, 2, 3, 4} è un anello con l'operazione di somma modulo 5 come operazione di addizione e l'operazione di prodotto modulo 5 come operazione di moltiplicazione.
$$ (Z_5 ,+_5, \cdot_5) $$
Essendo Z5 un insieme finito posso costruire la tavola additiva
a +5 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
e la tavola moltiplicativa
a ·5 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |
3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Entrambe le operazioni binarie sono chiuse nell'insieme Z5.
Una prima condizione degli anelli è soddisfatta.
A questo punto verifico se anche le altre proprietà sono soddisfatte.
La prima operazione (+5)
L'addizione modulo 5 nell'insieme Z5 soddisfa la proprietà commutativa
$$ a +_5 b = b +_5 a \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b \in Z_5 $$
Soddisfa anche la proprietà associativa
$$ (a +_5 b) +_5 c = a +_5 (b +_5 c) \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$
Esiste l'elemento neutro dell'addizione modulo 5. E' il numero 0.
$$ a +_5 0 = 0 +_5 a = a \ \ \ \ \ \ \forall \ a \in Z_5 $$
Infine, per ogni elemento dell'insieme Z5 esiste l'elemento opposto.
Ad esempio, 0+0=0, 1+4=0, 2+3=0, 3+2=0 e 4+1=0
a +5 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Tutte le proprietà della prima operazione (additiva) di un anello sono soddisfatte.
Nota. La struttura (Z5,+) è un gruppo perché l'insieme Z5 non è vuoto, l'addizione modulo cinque +5 è un'operazione chiusa, soddisfa la proprietà associativa, esiste l'elemento neutro (lo zero) e l'elemento inverso di ogni elemento. Inoltre, poiché soddisfa anche la proprietà commutativa, (Z5,+) è un gruppo abeliano. E' la condizione fondamentale della prima operazione (operazione additiva) in un anello.
La seconda operazione (·5)
La moltiplicazione modulo 5 nell'insieme Z5 soddisfa la proprietà associativa
$$ (a \cdot_5 b) \cdot_5 c = a \cdot_5 (b \cdot_5 c) \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$
Soddisfa anche la proprietà distributiva
$$ (a +_5 b) \cdot_5 c = a \cdot_5 c +_5 b \cdot_5 c \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$
$$ a \cdot_5 ( b +_5 c ) = a \cdot_5 b +_5 a \cdot_5 c \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$
Tutte le proprietà della seconda operazione (moltiplicativa) di un anello sono soddisfatte.
Conclusione
In conclusione, le due operazioni soddisfano tutte le proprietà degli anelli.
Pertanto, la struttura algebrica (Z5,+,*) è un anello.
E così via.