Esercizio sugli anelli 1

Devo verificare se l'insieme degli interi Z5={0, 1, 2, 3, 4} è un anello con l'operazione di somma modulo 5 come operazione di addizione e l'operazione di prodotto modulo 5 come operazione di moltiplicazione.

$$ (Z_5 ,+_5, \cdot_5) $$

Essendo Z5 un insieme finito posso costruire la tavola additiva

a +5 b 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3

e la tavola moltiplicativa

a ·5 b 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1

Entrambe le operazioni binarie sono chiuse nell'insieme Z5.

Una prima condizione degli anelli è soddisfatta.

A questo punto verifico se anche le altre proprietà sono soddisfatte.

La prima operazione (+5)

L'addizione modulo 5 nell'insieme Z5 soddisfa la proprietà commutativa

$$ a +_5 b = b +_5 a \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b \in Z_5 $$

Soddisfa anche la proprietà associativa

$$ (a +_5 b) +_5 c = a +_5 (b +_5 c) \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$

Esiste l'elemento neutro dell'addizione modulo 5. E' il numero 0.

$$ a +_5 0 = 0 +_5 a = a \ \ \ \ \ \ \forall \ a \in Z_5 $$

Infine, per ogni elemento dell'insieme Z5 esiste l'elemento opposto.

Ad esempio, 0+0=0, 1+4=0, 2+3=0, 3+2=0 e 4+1=0

a +5 b 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3

Tutte le proprietà della prima operazione (additiva) di un anello sono soddisfatte.

Nota. La struttura (Z5,+) è un gruppo perché l'insieme Z5 non è vuoto, l'addizione modulo cinque +5 è un'operazione chiusa, soddisfa la proprietà associativa, esiste l'elemento neutro (lo zero) e l'elemento inverso di ogni elemento. Inoltre, poiché soddisfa anche la proprietà commutativa, (Z5,+) è un gruppo abeliano. E' la condizione fondamentale della prima operazione (operazione additiva) in un anello.

La seconda operazione (·5)

La moltiplicazione modulo 5 nell'insieme Z5 soddisfa la proprietà associativa

$$ (a \cdot_5 b) \cdot_5 c = a \cdot_5 (b \cdot_5 c) \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$

Soddisfa anche la proprietà distributiva

$$ (a +_5 b) \cdot_5 c = a \cdot_5 c +_5 b \cdot_5 c \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$

$$ a \cdot_5 ( b +_5 c ) = a \cdot_5 b +_5 a \cdot_5 c \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$

Tutte le proprietà della seconda operazione (moltiplicativa) di un anello sono soddisfatte.

Conclusione

In conclusione, le due operazioni soddisfano tutte le proprietà degli anelli.

Pertanto, la struttura algebrica (Z5,+,*) è un anello.

E così via.

 


 

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