Esercizio sugli anelli 3

L'insieme degli interi Z6={0, 1, 2, 3, 4, 5} è un anello con l'operazione di somma modulo 6 come operazione di addizione e l'operazione di prodotto modulo 6 come operazione di moltiplicazione?

$$ (Z_6 ,+_6, \cdot_6) $$

Per prima cosa, essendo Z6 un insieme finito costruisco la tavola additiva

a +6 b 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4

e la tavola moltiplicativa

a ·6 b 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1

Sia l'addizione che la moltiplicazione sono operazionu binarie chiuse nell'insieme Z6.

La prima condizione degli anelli è soddisfatta.

A questo punto controllo se anche le altre proprietà sono soddisfatte.

La prima operazione (+6)

L'addizione modulo 6 soddisfa la proprietà commutativa nell'insieme Z6

$$ a +_6 b = b +_6 a \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b \in Z_6 $$

Soddisfa anche la proprietà associativa

$$ (a +_6 b) +_6 c = a +_6 (b +_6 c) \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$

Esiste l'elemento neutro dell'addizione modulo 6. E' il numero 0.

$$ a +_5 0 = 0 +_5 a = a \ \ \ \ \ \ \forall \ a \in Z_5 $$

Infine, ogni elemento dell'insieme Z6 ha un elemento opposto.

Ad esempio, 0+0=0, 1+4=0, 2+3=0, 3+2=0, 4+1=0, 5+1=0

a +6 b 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4

La prima operazione additiva soddisfa tutte le proprietà degli anelli.

Nota. La struttura (Z6,+) è un gruppo perché l'insieme Z6 non è vuoto, l'addizione modulo sei +6 è un'operazione chiusa in Z6, soddisfa la proprietà associativa, esiste l'elemento neutro (lo zero) e l'elemento inverso di ogni elemento. Oltre a essere un gruppo (Z6,+) è anche un gruppo abeliano perché soddisfa la proprietà commutativa.

La seconda operazione (·6)

La moltiplicazione modulo 6 nell'insieme Z6 soddisfa la proprietà associativa

$$ (a \cdot_6 b) \cdot_6 c = a \cdot_6 (b \cdot_6 c) \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_6 $$

Soddisfa anche la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

$$ (a +_6 b) \cdot_6 c = a \cdot_6 c +_6 b \cdot_6 c \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_6 $$

$$ a \cdot_6 ( b +_6 c ) = a \cdot_6 b +_6 a \cdot_6 c \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_6 $$

Pertanto, tutte le proprietà della seconda operazione (moltiplicativa) di un anello sono soddisfatte.

Conclusione

In conclusione, le due operazioni binarie soddisfano le proprietà degli anelli.

Pertanto, posso concludere affermando che la struttura algebrica (Z6,+,*) è un anello.

E così via.

 


 

Segnalami un errore, un refuso o un suggerimento per migliorare gli appunti

FacebookTwitterLinkedinLinkedin
knowledge base

Algebra astratta

Esercizi

Tool