Il massimo comune divisore di monomi
Come si calcola il massimo comune divisore tra monomi
Il massimo comune divisore (MCD) tra due o più monomi (non nulli) è un monomio che ha per coefficiente il MCD dei valori assoluti dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle lettere comuni prese una sola volta con l'esponente più piccolo.
In altre parole, dati due o più monomi, il massimo comune divisore è il monomio di grado massimo che è divisore di tutti i monomi che sto considerando.
- La parte letterale del massimo comune divisore tra due o più monomi è il prodotto dei fattori letterali comuni a tutti i monomi, presi una sola volta e con il minimo esponente.
- Il coefficiente numerico è per convenzione il massimo comune divisore dei coefficienti numerici dei monomi se questi sono numeri interi, oppure 1 in caso contrario.
Ad esempio, se sono numeri frazionari posso considerare 1 come coefficiente numerico, perché generalmente per la divisibilità di un monomio si considera esclusivamente la divisibilità delle parti letterali.
Un esempio pratico
Considero questi monomi
$$ 8 a^2b^3c $$
$$ 4 a^4b^2 $$
$$ 6 a^3b^4c^2 $$
Per prima cosa calcolo il massimo comune divisore dei coefficienti numerici dei monomi
In questo caso il MCD dei coefficienti è 2
$$ MCD(8,4,6) = 2 $$
Nota. Se i coefficienti numerici non hanno un massimo comune divisore, ossia sono relativamente primi tra loro, oppure non sono numeri interi, uso come coefficiente numerico il numero 1.
Dispongo in colonna le lettere dei monomi
$$ \begin{array}{|clcc} \color{red}{a^2} & b^3 & c \\ a^4 & \color{red}{b^2} & \\ a^3 & b^4 & c^2 \\ \hline \\ a^2 & b^2 & - \end{array} $$
Poi prendo le lettere comuni nei monomi (a,b) con l'esponente più basso e le moltiplico tra loro
$$ a^2 \cdot b^2 $$
Infine moltiplico il coefficiente numerico e la parte letterale appena trovati.
Quindi, il massimo comune divisore dei tre monomi è 2·a2b2
$$ 2a^2b^2 $$
Esempio 2
Devo calcolare il massimo comune divisore tra questi monomi
$$ \frac{3}{5} a^4b^5 $$
$$ 8 b^3c^2 $$
$$ 2 ab^2c $$
In questo caso i coefficienti non sono tutti interi ma non cambia nulla.
I coefficienti numerici non hanno un divisore comune, quindi considero come coefficiente numerico del massimo comune divisore il numero 1.
$$ MCD( \frac{3}{5}, 8, 2) = 1 $$
Dispongo le lettere in conlonna, prendo una sola volta le lettere in comune (b) con l'esponente più piccolo e le moltiplico tra loro.
$$ \begin{array}{|clcc} a^4 & b^5 & \\ & b^3 & c^2 \\ a & \color{red}{b^2} & c \\ \hline \\ - & b^2 & - \end{array} $$
In questo caso c'è solo una lettera in comune.
Quindi, il massimo comune divisore dei monomi è 1·b2
$$ MCD = b^2 $$
E così via.
