Esercizi sui sistemi di equazioni lineari a gradini
Alcuni esercizi svolti tramite la trasformazione in un sistema lineare a gradini
Esercizio 1
Devo risolvere il sistema lineare
$$ \begin{cases} x-y = 3 \\ x+y=9 \end{cases} $$
Per risolverlo lo trasformo in un sistema a gradini
Scrivo il sistema completo in forma matriciale
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 9 \end{pmatrix} $$
Le prime due colonne compongono la matrice dei coefficienti del sistema (A).
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$
L'ultima colonna del sistema è il vettore dei termini noti del sistema (B).
$$ B = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} $$
A questo punto, cerco di trasformare la matrice dei coefficienti (A) in una matrice a gradini tramite le operazioni elementari di riga.
Sottraggo dalla seconda riga (R2) la prima riga (R1) moltiplicata per 2.
$$ R2 = R2 - R1 \cdot 1 $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 1-1 \cdot 1 & 1 -(-1) \cdot 1 & 9 - 3 \cdot 1 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} $$
Ora la matrice dei coefficienti (A) è una matrice a gradini
Trasformo la matrice in un sistema di equazioni.
$$ \begin{cases} x-y = 3 \\ 2y=6 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x-y = 3 \\ y=3 \end{cases} $$
Grazie alla forma a gradini, ora è subito noto il valore della variabile y=3.
Sostituisco y=3 nella prima equazione del sistema per trovare il valore della variabile x
$$ \begin{cases} x-3 = 3 \\ y=3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = 6 \\ y=3 \end{cases} $$
Le soluzioni del sistema sono x=3 e y=3.
Esercizio 2
Devo risolvere il sistema lineare
$$ \begin{cases} 2x-5y = 7 \\ x-3y=1 \end{cases} $$
Lo risolvo tramite una trasformazione in un sistema a gradini
Riscrivo il sistema completo nella forma matriciale
$$ A|B = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 7 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} $$
Le prime due colonne sono la matrice dei coefficienti del sistema (A).
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} $$
L'ultima colonna del sistema è il vettore dei termini noti del sistema (B).
$$ B = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Eseguo delle operazioni elementari di riga per trasformare la matrice dei coefficienti (A) in una matrice a gradini.
Scambio la posizione della prima e della seconda riga nel sistema completo A|B
$$ R1 \Leftrightarrow R2 $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & -5 & 7 \end{pmatrix} $$
Sommo alla seconda riga (R2) la prima riga (R1) moltiplicata per -2.
$$ R2 = R2 + R1 \cdot (-2) $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 + 1 \cdot (-2) & -5 + (-3) \cdot (-2) & 7 + 1 \cdot (-2) \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 - 2 & -5 +6 & 7 -2 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} $$
Ora la matrice dei coefficienti A è una matrice a gradini.
Trasformo la matrice in un sistema di equazioni a gradini.
$$ \begin{cases} x -3y = 1 \\ y=5 \end{cases} $$
A questo punto la variabile y=5 è subito nota.
Quindi, per trovare il valore dell'altra variabile incognita x devo solo sostituire y=5 nella prima equazione.
$$ \begin{cases} x -3 \cdot 5 = 1 \\ y=5 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x -15 = 1 \\ y=5 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = 16 \\ y=5 \end{cases} $$
Le soluzioni del sistema sono x=16 e y=5
Esercizio 3
Devo risolvere il sistema di equazioni lineari
$$ \begin{cases} x_1 + 3x_3 - 3x_4 = 0 \\ 2x_2 -4x_3 +4x_4 =0 \\ -x_1 +x_2 -5x_3 +x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + 4x_3 + 4x_4 = 0 \end{cases} $$
Cerco di risolverlo trasformandolo in un sistema a gradini tramite le regole di Gauss
La matrice completa del sistema è
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 \\ -1 & 1 & -5 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} $$
Sommo alla terza riga la prima riga R3=R3+R1
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 \\ -1+1 & 1+0 & -5+3 & 1+(-3) & 0+0 \\ 2 & 1 & 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} $$
Sottraggo alla quarta riga la prima riga moltiplicata per due R4=R4-2R1
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 2-2 & 1-0 & 4-6 & 4-(-6) & 0-0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 10 & 0 \end{pmatrix} $$
Sottraggo alla seconda riga la quarta riga moltiplicata per due R2=R2-2R4
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0-0 & 2-2 & -4-(-4) & 4-20 & 0-0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 10 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -16 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 10 & 0 \end{pmatrix} $$
Sottratto alla quarta riga la terza riga R4=R4-R3
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -16 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0-0 & 1-1 & -2-(-2) & 10-(-2) & 0-0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -16 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 \end{pmatrix} $$
Scambio le posizioni della seconda riga e della terza riga R2⇔R3
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 \end{pmatrix} $$
Moltiplico la terza riga per tre R3=3·R3
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -16 \cdot 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -48 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 \end{pmatrix} $$
Moltiplico la quarta riga quattro R4=4·R4
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -48 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \cdot 4 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -48 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 48 & 0 \end{pmatrix} $$
Sommo alla quarta riga la terza riga R4=R4+R3
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -48 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 48+(-48) & 0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -48 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Il risultato finale è un sistema a gradini.
Nota. La quarta colonna è un gradino allungato. Già da questo si può dedurre che la variabile x3 è un parametro del sistema.
Il rango del sistema è uguale r=3 perché ci sono tre gradini.
Sapendo che il sistema ha n=4 incognite, per il teorema di Rouché-Capelli deduco che il sistema ha infinite soluzioni
$$ \infty^{n-r} = \infty^{4-3} = \infty \ soluzioni $$
Trasformo la matrice completa in un sistema di equazioni
$$ \begin{cases} x_1 + 3x_3 - 3x_4 = 0 \\ x_2 -2x_3 -2x_4 = 0 \\ - 48x_4 = 0 \end{cases} $$
Divido entrambi i membri dell'equazione -48x4=0 per -48 e ottengo x4=0
$$ \begin{cases} x_1 + 3x_3 - 3x_4 = 0 \\ x_2 -2x_3 -2x_4 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} $$
Sostituisco x4=0 nella prima e nella terza equazione
$$ \begin{cases} x_1 + 3x_3 - 3 \cdot 0 = 0 \\ x_2 -2x_3 - 2 \cdot 0 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x_1 + 3x_3 = 0 \\ x_2 -2x_3 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} $$
Ricavo le incognite x1 e x2 rispettivamente dalla prima e dalla seconda equazione.
$$ \begin{cases} x_1 = - 3x_3 \\ x_2 = 2x_3 \\ x_4 = 0 \end{cases} $$
L'incognita x3 non è definita ed è un parametro del sistema perché può assumere qualsiasi valore reale.
Questa è la soluzione del sistema.
$$ \begin{cases} x_1 = - 3x_3 \\ x_2 = 2x_3 \\ x_4 = 0 \\ x_3 = k \end{cases} $$
Il sistema ha infinite soluzioni, una per ogni numero reale assegnabile al parametro x3=k.
E così via.
