Esercizio sistema a gradini 2

Devo risolvere il sistema lineare

$$ \begin{cases} 2x-5y = 7 \\ x-3y=1 \end{cases} $$

Lo risolvo tramite una trasformazione in un sistema a gradini

Riscrivo il sistema completo nella forma matriciale

$$ A|B = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 7 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} $$

Le prime due colonne sono la matrice dei coefficienti del sistema (A).

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} $$

L'ultima colonna del sistema è il vettore dei termini noti del sistema (B).

$$ B = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Eseguo delle operazioni elementari di riga per trasformare la matrice dei coefficienti (A) in una matrice a gradini.

Scambio la posizione della prima e della seconda riga nel sistema completo A|B

$$ R1 \Leftrightarrow R2 $$

$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & -5 & 7 \end{pmatrix} $$

Sommo alla seconda riga (R2) la prima riga (R1) moltiplicata per -2.

$$ R2 = R2 + R1 \cdot (-2) $$

$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 + 1 \cdot (-2) & -5 + (-3) \cdot (-2) & 7 + 1 \cdot (-2) \end{pmatrix} $$

$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 - 2 & -5 +6 & 7 -2 \end{pmatrix} $$

$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} $$

Ora la matrice dei coefficienti A è una matrice a gradini.

Trasformo la matrice in un sistema di equazioni a gradini.

$$ \begin{cases} x -3y = 1 \\ y=5 \end{cases} $$

A questo punto la variabile y=5 è subito nota.

Quindi, per trovare il valore dell'altra variabile incognita x devo solo sostituire y=5 nella prima equazione.

$$ \begin{cases} x -3 \cdot 5 = 1 \\ y=5 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x -15 = 1 \\ y=5 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x = 16 \\ y=5 \end{cases} $$

Le soluzioni del sistema sono x=16 e y=5

E così via.