Esercizio sistema a gradini 1

Devo risolvere il sistema lineare

$$ \begin{cases} x-y = 3 \\ x+y=9 \end{cases} $$

Per risolverlo lo trasformo in un sistema a gradini

Scrivo il sistema completo in forma matriciale

$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 9 \end{pmatrix} $$

Le prime due colonne compongono la matrice dei coefficienti del sistema (A).

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

L'ultima colonna del sistema è il vettore dei termini noti del sistema (B).

$$ B = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} $$

A questo punto, cerco di trasformare la matrice dei coefficienti (A) in una matrice a gradini tramite le operazioni elementari di riga.

Sottraggo dalla seconda riga (R2) la prima riga (R1) moltiplicata per 2.

$$ R2 = R2 - R1 \cdot 1 $$

$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 1-1 \cdot 1 & 1 -(-1) \cdot 1 & 9 - 3 \cdot 1 \end{pmatrix} $$

$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} $$

Ora la matrice dei coefficienti (A) è una matrice a gradini

Trasformo la matrice in un sistema di equazioni.

$$ \begin{cases} x-y = 3 \\ 2y=6 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x-y = 3 \\ y=3 \end{cases} $$

Grazie alla forma a gradini, ora è subito noto il valore della variabile y=3.

Sostituisco y=3 nella prima equazione del sistema per trovare il valore della variabile x

$$ \begin{cases} x-3 = 3 \\ y=3 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x = 6 \\ y=3 \end{cases} $$

Le soluzioni del sistema sono x=3 e y=3.

E così via.