Esercizi sugli anelli
Alcuni esercizi svolti sugli anelli
Esercizio 1
Devo verificare se l'insieme degli interi Z5={0, 1, 2, 3, 4} è un anello con l'operazione di somma modulo 5 come operazione di addizione e l'operazione di prodotto modulo 5 come operazione di moltiplicazione.
$$ (Z_5 ,+_5, \cdot_5) $$
Essendo Z5 un insieme finito posso costruire la tavola additiva
| a +5 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
e la tavola moltiplicativa
| a ·5 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Entrambe le operazioni binarie sono chiuse nell'insieme Z5.
Una prima condizione degli anelli è soddisfatta.
A questo punto verifico se anche le altre proprietà sono soddisfatte.
La prima operazione (+5)
L'addizione modulo 5 nell'insieme Z5 soddisfa la proprietà commutativa
$$ a +_5 b = b +_5 a \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b \in Z_5 $$
Soddisfa anche la proprietà associativa
$$ (a +_5 b) +_5 c = a +_5 (b +_5 c) \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$
Esiste l'elemento neutro dell'addizione modulo 5. E' il numero 0.
$$ a +_5 0 = 0 +_5 a = a \ \ \ \ \ \ \forall \ a \in Z_5 $$
Infine, per ogni elemento dell'insieme Z5 esiste l'elemento opposto.
Ad esempio, 0+0=0, 1+4=0, 2+3=0, 3+2=0 e 4+1=0
| a +5 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Tutte le proprietà della prima operazione (additiva) di un anello sono soddisfatte.
Nota. La struttura (Z5,+) è un gruppo perché l'insieme Z5 non è vuoto, l'addizione modulo cinque +5 è un'operazione chiusa, soddisfa la proprietà associativa, esiste l'elemento neutro (lo zero) e l'elemento inverso di ogni elemento. Inoltre, poiché soddisfa anche la proprietà commutativa, (Z5,+) è un gruppo abeliano. E' la condizione fondamentale della prima operazione (operazione additiva) in un anello.
La seconda operazione (·5)
La moltiplicazione modulo 5 nell'insieme Z5 soddisfa la proprietà associativa
$$ (a \cdot_5 b) \cdot_5 c = a \cdot_5 (b \cdot_5 c) \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$
Soddisfa anche la proprietà distributiva
$$ (a +_5 b) \cdot_5 c = a \cdot_5 c +_5 b \cdot_5 c \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$
$$ a \cdot_5 ( b +_5 c ) = a \cdot_5 b +_5 a \cdot_5 c \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$
Tutte le proprietà della seconda operazione (moltiplicativa) di un anello sono soddisfatte.
Conclusione
In conclusione, le due operazioni soddisfano tutte le proprietà degli anelli.
Pertanto, la struttura algebrica (Z5,+,*) è un anello.
Esercizio 2
Devo capire se l'applicazione f(x)=|x| è un omomorfismo tra gli anelli (Z,+,*) e (Z',+,*) dove Z=Z'
Per prima cosa verifico se l'applicazione soddisfa la proprietà del prodotto degli omomorfismi
$$ f(a \cdot b)=f(a) \cdot f(b) $$
$$ |a \cdot b|= |a| \cdot |b| $$
Il prodotto a*b ha lo stesso valore assoluto.
Nota. A sinistra il prodotto è sempre positivo per via del modulo. A destra, il prodotto tra due moduli è sempre positivo.
Ora verifico se l'applicazione soddisfa anche la proprietà della somma degli omomorfismi
$$ f(a + b)=f(a) + f(b) $$
$$ |a + b|= |a| + |b| $$
In questo caso la proprietà non è soddisfatta se i due numeri sono discordi, ossia hanno segno diverso.
Ad esempio, se a=2 e b=-3
$$ |2 + (-3)|= |2| + |-3| $$
$$ |-1|= 2 + 3 $$
$$ -1 \ne 5 $$
Quindi, l'applicazione f(x)=|x| non è un omomorfismo tra gli anelli (Z,+,*) e (Z',+,*)
Esercizio 3
L'insieme degli interi Z6={0, 1, 2, 3, 4, 5} è un anello con l'operazione di somma modulo 6 come operazione di addizione e l'operazione di prodotto modulo 6 come operazione di moltiplicazione?
$$ (Z_6 ,+_6, \cdot_6) $$
Per prima cosa, essendo Z6 un insieme finito costruisco la tavola additiva
| a +6 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
e la tavola moltiplicativa
| a ·6 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 4 | 2 | 0 | 4 | 2 |
| 5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Sia l'addizione che la moltiplicazione sono operazionu binarie chiuse nell'insieme Z6.
La prima condizione degli anelli è soddisfatta.
A questo punto controllo se anche le altre proprietà sono soddisfatte.
La prima operazione (+6)
L'addizione modulo 6 soddisfa la proprietà commutativa nell'insieme Z6
$$ a +_6 b = b +_6 a \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b \in Z_6 $$
Soddisfa anche la proprietà associativa
$$ (a +_6 b) +_6 c = a +_6 (b +_6 c) \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_5 $$
Esiste l'elemento neutro dell'addizione modulo 6. E' il numero 0.
$$ a +_5 0 = 0 +_5 a = a \ \ \ \ \ \ \forall \ a \in Z_5 $$
Infine, ogni elemento dell'insieme Z6 ha un elemento opposto.
Ad esempio, 0+0=0, 1+4=0, 2+3=0, 3+2=0, 4+1=0, 5+1=0
| a +6 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
La prima operazione additiva soddisfa tutte le proprietà degli anelli.
Nota. La struttura (Z6,+) è un gruppo perché l'insieme Z6 non è vuoto, l'addizione modulo sei +6 è un'operazione chiusa in Z6, soddisfa la proprietà associativa, esiste l'elemento neutro (lo zero) e l'elemento inverso di ogni elemento. Oltre a essere un gruppo (Z6,+) è anche un gruppo abeliano perché soddisfa la proprietà commutativa.
La seconda operazione (·6)
La moltiplicazione modulo 6 nell'insieme Z6 soddisfa la proprietà associativa
$$ (a \cdot_6 b) \cdot_6 c = a \cdot_6 (b \cdot_6 c) \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_6 $$
Soddisfa anche la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione
$$ (a +_6 b) \cdot_6 c = a \cdot_6 c +_6 b \cdot_6 c \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_6 $$
$$ a \cdot_6 ( b +_6 c ) = a \cdot_6 b +_6 a \cdot_6 c \ \ \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in Z_6 $$
Pertanto, tutte le proprietà della seconda operazione (moltiplicativa) di un anello sono soddisfatte.
Conclusione
In conclusione, le due operazioni binarie soddisfano le proprietà degli anelli.
Pertanto, posso concludere affermando che la struttura algebrica (Z6,+,*) è un anello.
Esercizio 4
Devo verificare se l'applicazione f(x)=3x è un omomorfismo tra gli anelli (Z6,+,*) e (Z6',+,*) dove le operazioni + e * sono l'addizione e la moltiplicazione modulo 6
Per prima cosa costruisco la tavola dell'addizione modulo 6
| a +6 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Poi costruisco la tavola della moltiplicazione modulo 6.
| a ·6 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 4 | 2 | 0 | 4 | 2 |
| 5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Ora verifico se l'applicazione soddisfa la prima proprietà degli omomorfismi
$$ f(a + b)=f(a) + f(b) $$
$$ 3 \cdot (a + b)= 3a + 3b $$
$$ 3 \cdot (a + b)= 3 \cdot (a + b) $$
La prima proprietà è soddisfatta.
Infine, verifico se l'applicazione f(x) soddisfa anche la proprietà del prodotto degli omomorfismi
$$ f(a \cdot b)=f(a) \cdot f(b) $$
$$ 3 \cdot (a \cdot b)= 3a \cdot 3b $$
Applico la proprietà associativa al secondo membro
$$ 3 \cdot (a \cdot b)= 3 \cdot ( a \cdot b) $$
Anche la seconda proprietà degli omomorfismi è soddisfatta
Quindi, l'applicazione f(x)=3x è un omomorfismo tra gli anelli (Z6,+,*) e (Z6,+,*)
Verifica
Essendo un insieme finito con pochi elementi, scrivo le tabelle delle operazioni dell'omomorfismo per completezza
Nel caso dell'addizione le due tabelle 3(a+b) e 3a+3b sono uguali
| 3(a +6 b) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 1 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
| 2 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 3 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
| 4 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 5 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
| 3a +6 3b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 1 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
| 2 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 3 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
| 4 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 5 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
Anche nel caso della moltiplicazione le due tabelle 3(a·b) e 3a·3b sono uguali
| 3(a ·6 b) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 3a ·6 3b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
Questa verifica completa dimostra la soluzione precedente.
L'applicazione f(x)=3x è un omomorfismo tra gli anelli (Z6,+,*) e (Z6,+,*)
E così via.
