VelocitÓ angolare

La velocità angolare è un vettore ω con un modulo pari alla derivata della legge del moto angolare $$ |ω| = \frac{dθ}{dt} $$ la direzione coincide con l'asse di rotazione ed è perpendicolare al piano in cui si trova la circonferenza (moto del corpo) mentre il verso è tale che dall'estremo del vettore w il moto del corpo appaia in senso antiorario.
il vettore della velocità angolare

Generalmente la velocità angolare è una retta ortogonale al piano del moto che passa per il centro della circonferenza.

Come si misura la velocità angolare

Per misurare la velocità angolare (grandezza scalare |ω|) di un moto circolare si utilizza l'intera circonferenza (Δθ=2π) ossia un angolo giro.

$$ ω = \frac{Δθ}{t} = \frac{2π}{t} $$

Pertanto, il tempo (t) coincide con il periodo T del moto circolare.

$$ ω = \frac{2π}{T} $$

Essendo la frequenza (f) l'inverso del periodo (f=1/T) la formula precedente posso anche scriverla in questa forma

$$ ω = 2πf $$

Ho così trovato il modulo |ω| del vettore ω.

Facendo l'analisi dimensionale della formula si comprende il fatto che la velocità angolare è misurata in radianti/secondi (rad/s).

Dimostrazione. L'angolo giro (2π) è una grandezza misurata in radianti [rad] o in gradi. La frequenza (f) è l'inverso del periodo (1/T) che, a sua volta, si misura in tempo [T-1]. Pertanto, la dimensione della formula 2π/T è [rad][T-1] ossia radianti al secondo.

La differenza tra velocità angolare e la velocità

La velocità angolare (ω) misura la velocità con cui varia l'angolo θ(t) in un moto circolare.

Si distingue dalla velocità (v) che, invece, misura la velocità del corpo a percorrere uno spazio S sulla traiettoria (circonferenza).

la differenza tra velocità angolare e velocità

Tra il vettore della velocità angolare (ω), il vettore della velocità (v) e il raggio vettore (r) c'è una stretta relazione.

$$ v = ω \: x \: r $$

Dimostrazione. La formula della velocità è uguale allo spazio (s) percorso sulla circonferenza fratto il tempo (t). $$ v= \frac{s}{t} $$ L'arco percorso è uguale al modulo del vettore raggio |r| per l'angolo θ. $$ s = |r| \cdot θ $$ Quindi, posso riscrivere la velocità come. $$ v = \frac{s}{t} = \frac{|r| \cdot θ}{t} $$ Il rapporto tra l'angolo e il tempo è la velocità angolare. $$ ω = \frac{θ}{t} $$ Pertanto, il rapporto tra la velocità (v) e la velocità angolare (ω) è $$ v = ω \cdot |r| $$ Ponendo R=|r| $$ v = w \cdot R $$

vettori ω,w e r sono vettori ortogonali tra loro perché presi a coppia formano sempre un angolo di 90° (π/2).

i vettori della velocità angolare, della velocità e del raggio sono ortogonali

L'accelerazione angolare

L'accelerazione angolare è la derivata della velocità angolare. $$ α = \frac{d \: ω}{dt} $$

Si misura in radianti al secondo quadro (rad/s2).

La ragione è molto semplice.

A sua volta la velocità angolare è la derivata della legge oraria angolare.

$$ ω = \frac{d \: θ}{dt} $$

Pertanto, l'accelerazione angolare è la derivata seconda della legge oraria angolare.

$$ α = \frac{d \: ω}{dt} = \frac{d^2 \: θ}{dt^2} $$

Facendo una rapida analisi dimensionale, l'angolo si misura in radianti mentre il tempo al quadrato in secondi.

$$ α = \frac{d^2 \: θ}{dt^2} = \frac{[Rad]}{[T^2]} = [Rad] \cdot [T^{-2}] $$

E così via


 
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