Il moto uniformemente accelerato
Il moto rettilineo è uniformemente accelerato se l'accelerazione è costante e diversa da zero.
Le principali cararatteristiche del moto rettilineo uniformemente accelerato
Nel moto rettilineo uniformemente accelerato l'accelerazione è una costante diversa da zero.
Quindi, la velocità è una funzione lineare rispetto al tempo (t) mentre il diagramma orario è una parabola.
Le formule del moto rettilineo uniformemente accelerato sono le seguenti
Accelerazione
$$ a(t) = a_0 $$
Velocità
$$ v(t) = v_0 + a(t-t_0) $$
Posizione (legge oraria)
$$ x(t) = x_0 + v_0 (t-t_0) + \frac{1}{2} a(t-t_0)^2 $$
Dove t0 è l'istante iniziale, x0 è la posizione iniziale, v0 è la velocità iniziale, a0 è l'accelerazione iniziale.
Nota. Nel caso semplificato in cui t0 = 0 l'accelerazione diventa $$ v(t) = v_0 + a \cdot t $$ mentre la legge oraria si riduce a $$ x(t) = x_0 + v \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 $$
L'accelerazione
Nel moto uniformemente accelerato l'accelerazione è costante $$ a(t) = a_0 $$
E' molto semplice e non c'è molto da aggiungere.
Se l'accelerazione è positiva si parla di moto uniformemente accelerato.
Viceversa, se l'accelerazione è negativa si parla di moto ritardato.
La velocità
Nel moto uniformemente accelerato la velocità è $$ v(t) = a_0 (t-t_0) + v_0 $$ oppure in modo equivalente $$ v(t) = v_0 + \int_{t_0}^{t} a_0 \: dt $$
Si tratta di una retta.
Se la retta ha inclinazione positiva la velocità aumenta nel tempo.
Viceversa, se la retta ha inclinazione negativa la velocità si riduce nel tempo.
Dimostrazione
L'accelerazione è uguale alla derivata della velocità rispetto al tempo.
$$ a(t) = \frac{d \: v(t)}{dt} $$
Nel moto uniformemente accelerato l'accelerazione è una costante a0
$$ \frac{d \: v}{dt} = a_0 $$
Applico la tecnica della separazione delle variabili
$$ d \: v = a_0 \: dt $$
Poi integro entrambi i membri.
$$ \int_{v_0}^{v(t)} d \: v = \int_{t_0}^t a_0 \: dt $$
Nota. Il membro di sinistra l'ho integrato per la variabile velocità v(t) mentre quello di destra l'ho integrato per il tempo perché la variabile di integrazione è diversa.
Risolvo l'integrale di sinistra con il teorema fondamentale dell'integrazione.
$$ v(t)-v_0 = \int_{t_0}^t a_0 \: dt $$
Nell'integrale di destra sposto la costante a0 fuori dall'integrale e integro dt con il teorema fondamentale dell'integrazione.
$$ v(t)-v_0 = a_0 \cdot \int_{t_0}^t \: dt $$
$$ v(t)-v_0 = a_0 (t-t_0) $$
Metto in evidenza v(t) e ottengo la formula della velocità nel moto rettilineo uniforme.
$$ v(t) = a_0 (t-t_0) + v_0 $$
La velocità in funzione della posizione $$ v^2 = v_0^2 + 2a (x-x_0) $$ Per una spiegazione sulla formula.
La legge oraria
Nel moto uniformemente accelerato la posizione del punto nello spazio è $$ x(t) = x_0 + v_0(t-t_0) + \frac{1}{2} a \cdot (t-t_0)^2 $$
Graficamente è una parabola.
La parabola è rivolta verso l'alto se l'accelerazione è positiva. Verso il basso se è negativa.
Dimostrazione
La posizione x(t) del punto materiale è in funzione del punto iniziale x0 e della velocità v(t).
La formula della legge oraria è la seguente:
$$ x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} v(t) dt $$
Sostituisco v(t) con la formula dell'accelerazione.
$$ x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} [v_0 + a \cdot (t-t_0) ] \ dt $$
Nota. Nel moto uniformemente accelerato la velocità del punto materiale è lineare e dipende dal tempo. $$ v(t) = v_0 + \int_{t_0}^{t} a(t) \: dt $$ $$ v(t) = v_0 + a \cdot t - a \cdot t_0 $$ $$ v(t) = v_0 + a \cdot (t-t_0) $$
Separo i due integrali
$$ x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} v_0 \ dt + \int_{t_0}^{t} a \cdot (t-t_0) \ dt $$
Quindi svolgo i due integrali
$$ x(t) = x_0 + v_0(t-t_0) + \frac{1}{2} a \cdot (t-t_0)^2 $$
Nota. Se l'istante iniziale è uguale a zero t0=0 $$ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 $$
Ho così ottenuto la posizione x(t) del punto nello spazio in un moto rettilineo uniformemente accelerato in funzione della posizione iniziale (x0), della velocità (v) e dell'accelerazione (a).
La velocità è in funzione lineare del tempo.
L'accelerazione è invece in funzione quadratica del tempo.
E così via.
