Il moto uniformemente accelerato

Il moto rettilineo è uniformemente accelerato se l'accelerazione è costante e diversa da zero.
esempio di moto uniformemente accelerato

Le principali cararatteristiche del moto rettilineo uniformemente accelerato

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato l'accelerazione è una costante diversa da zero.

Quindi, la velocità è una funzione lineare rispetto al tempo (t) mentre il diagramma orario è una parabola.

le caratteristiche del moto rettilineo uniformemente accelerato

Le formule del moto rettilineo uniformemente accelerato sono le seguenti

Accelerazione

$$ a(t) = a_0 $$

Velocità

$$ v(t) = v_0 + a(t-t_0) $$

Posizione (legge oraria)

$$ x(t) = x_0 + v_0 (t-t_0) + \frac{1}{2} a(t-t_0)^2 $$

Dove t0 è l'istante iniziale, x0 è la posizione iniziale, v0 è la velocità iniziale, a0 è la velocità iniziale.

Nota. Nel caso semplificato in cui t0 = 0 l'accelerazione diventa $$ v(t) = v_0 + a \cdot t $$ mentre la legge oraria si riduce a $$ x(t) = x_0 + v \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 $$

L'accelerazione

Nel moto uniformemente accelerato l'accelerazione è costante $$ a(t) = a_0 $$

E' molto semplice e non c'è molto da aggiungere.

l'accelerazione nel moto uniformemente accelerato

Se l'accelerazione è positiva si parla di moto uniformemente accelerato.

Viceversa, se l'accelerazione è negativa si parla di moto ritardato.

La velocità

Nel moto uniformemente accelerato la velocità è $$ v(t) = a_0 (t-t_0) + v_0 $$ oppure in modo equivalente $$ v(t) = v_0 + \int_{t_0}^{t} a_0 \: dt $$

Si tratta di una retta.

la velocità nel moto uniformemente accelerato

Se la retta ha inclinazione positiva la velocità aumenta nel tempo.

Viceversa, se la retta ha inclinazione negativa la velocità si riduce nel tempo.

Dimostrazione

L'accelerazione è uguale alla derivata della velocità rispetto al tempo.

$$ a(t) = \frac{d \: v(t)}{dt} $$

Nel moto uniformemente accelerato l'accelerazione è una costante a0

$$ \frac{d \: v}{dt} = a_0 $$

Applico la tecnica della separazione delle variabili

$$ d \: v = a_0 \: dt $$

Poi integro entrambi i membri.

$$ \int_{v_0}^{v(t)} d \: v = \int_{t_0}^t a_0 \: dt $$

Nota. Il membro di sinistra l'ho integrato per la variabile velocità v(t) mentre quello di destra l'ho integrato per il tempo perché la variabile di integrazione è diversa.

Risolvo l'integrale di sinistra con il teorema fondamentale dell'integrazione.

$$ v(t)-v_0 = \int_{t_0}^t a_0 \: dt $$

Nell'integrale di destra sposto la costante a0 fuori dall'integrale e integro dt con il teorema fondamentale dell'integrazione.

$$ v(t)-v_0 = a_0 \cdot \int_{t_0}^t \: dt $$

$$ v(t)-v_0 = a_0 (t-t_0) $$

Metto in evidenza v(t) e ottengo la formula della velocità nel moto rettilineo uniforme.

$$ v(t) = a_0 (t-t_0) + v_0 $$

La velocità in funzione della posizione $$ v^2 = v_0^2 + 2a (x-x_0) $$ Per una spiegazione sulla formula.

La legge oraria

Nel moto uniformemente accelerato la posizione del punto nello spazio è $$ x(t) = x_0 + v_0(t-t_0) + \frac{1}{2} a \cdot (t-t_0)^2 $$

Graficamente è una parabola.

la legge oraria nel moto uniformemente accelerato

La parabola è rivolta verso l'alto se l'accelerazione è positiva. Verso il basso se è negativa.

Dimostrazione

La posizione x(t) del punto materiale è in funzione del punto iniziale x0 e della velocità v(t).

La formula della legge oraria è la seguente:

$$ x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} v(t) dt $$

Sostituisco v(t) con la formula dell'accelerazione.

$$ x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} [v_0 + a \cdot (t-t_0) ] \ dt $$

Nota. Nel moto uniformemente accelerato la velocità del punto materiale è lineare e dipende dal tempo. $$ v(t) = v_0 + \int_{t_0}^{t} a(t) \: dt $$ $$ v(t) = v_0 + a \cdot t - a \cdot t_0 $$ $$ v(t) = v_0 + a \cdot (t-t_0) $$

Separo i due integrali

$$ x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} v_0 \ dt + \int_{t_0}^{t} a \cdot (t-t_0) \ dt $$

Quindi svolgo i due integrali

$$ x(t) = x_0 + v_0(t-t_0) + \frac{1}{2} a \cdot (t-t_0)^2 $$

Nota. Se l'istante iniziale è uguale a zero t0=0 $$ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 $$

Ho così ottenuto la posizione x(t) del punto nello spazio in un moto rettilineo uniformemente accelerato in funzione della posizione iniziale (x0), della velocità (v) e dell'accelerazione (a).

La velocità è in funzione lineare del tempo.

L'accelerazione è invece in funzione quadratica del tempo.

E così via.


 
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