La composizione dei moti
Cosa sono i moti componenti
Il moto di un punto P che descrive una traiettoria nello spazio tridimensionale (x,y,z) può essere rappresentato come somma di tre moti rettilinei sugli assi cartesiani. $$ \vec{r}(t) = x(t) \cdot \vec{u_x} + y(t) \cdot \vec{u_y} + z(t) \cdot \vec{u_z} $$
Dove ux, uy e uz sono i versori degli assi cartesiani.
I moti componenti della legge oraria mi permettono di trovare le velocità componenti semplicemente derivando ogni singolo termine nel tempo.
$$ \vec{v}(t) = \frac{d \vec{r}}{dt} $$
$$ \vec{v}(t) = \frac{d \: [ x(t) \cdot \vec{u_x} + y(t) \cdot \vec{u_y} + z(t) \cdot \vec{u_z} ]}{dt} $$
$$ \vec{v}(t) = \frac{dx}{dt} \cdot \vec{u_x} + \frac{dy}{dt} \cdot \vec{u_y} + \frac{dz}{dt} \cdot \vec{u_z} $$
$$ \vec{v}(t) = v_x \cdot \vec{u_x} + v_y \cdot \vec{u_y} + v_z \cdot \vec{u_z} $$
Nota. Le velocità vx,vy,vz non sono grandezze vettoriali. Sono le velocità della proiezione del punto su ogni asse cartesiano.
Allo stesso modo posso ottenere l'accelerazione componente derivando la velocità.
$$ \vec{a}(t) = \frac{d \vec{v}}{dt} $$
$$ \vec{a}(t) = \frac{dv_x}{dt} \cdot \vec{u_x} + \frac{dv_y}{dt} \cdot \vec{u_y} + \frac{dv_z}{dt} \cdot \vec{u_z} $$
$$ \vec{a}(t) = a_x \cdot \vec{u_x} + a_y \cdot \vec{u_y} + a_z \cdot \vec{u_z} $$
Il ricomposizione dei moti componenti si ottiene facendo l'operazione inversa della derivata, ossia l'integrazione.
L'integrale delle accelerazioni componenti mi permette di trovare le velocità componenti.
$$ \int \vec{a}(t) \: dt = \int a_x \cdot \vec{u_x} \: dt + \int a_y \cdot \vec{u_y} \: dt + \int a_z \cdot \vec{u_z} \: dt = \vec{v}(t) $$
L'integrale delle velocità componenti mi permette di trovare i moti componenti.
$$ \int \vec{v}(t) \: dt = \int v_x \cdot \vec{u_x} \: dt + \int v_y \cdot \vec{u_y} \: dt + \int v_z \cdot \vec{u_z} \: dt = \vec{r}(t) $$
E così via.
