Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio
La proiezione ortogonale di un vettore in un sottospazio è la somma delle proiezioni ortogonali del vettore v in ogni vettore w della base. E' possibile soltanto se la base è ortogonale. $$ P_W(v) = P_{w1}(v)+...+P_{wn}(v) $$
Ogni proiezione ortogonale P del vettore v su un vettore w è determinata dai coefficienti di Fourier:
$$ P_{w}(v) =\frac{<v,w>}{<w,w>} \cdot w $$
Un esempio pratico
Prendo un sottospazio W in R3 nel campo K=R.
La base del sottospazio è la seguente:
$$ W = L_R \{ w_1, w_2 \} $$
con
$$ w_1 = (1,1,-2) \\ w_2 = (1,1,1) $$
Si tratta di una base ortogonale perché il prodotto scalare dei vettori che la compongono è uguale a zero.
$$ <w_1,w_2> = 0 $$
Il vettore v di cui voglio calcolare la proiezione ortogonale sul sottospazio W è il seguente:
$$ v = (2,1,3) $$
La proiezione ortogonale del vettore v sul sottospazio W è la seguente
$$ P_W(v) = P_{w_1}(v) + P_{w_2}(v) $$
$$ P_W(v) = \frac{<v,w_1>}{<w_1,w_1>} \cdot w_1 + \frac{<v,w_2>}{<w_2,w_2>} \cdot w_2 $$
$$ P_W(v) = \frac{<(2,1,3),(1,1,-2)>}{<(1,1,-2),(1,1,-2)>} \cdot (1,1,-2) + \frac{<(2,1,3),(1,1,1)>}{<(1,1,1),(1,1,1)>} \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{1 \cdot 1 + \cdot 1 + (-2) \cdot (-2)} \cdot (1,1,-2) + \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1}{ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 } \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \frac{2 + 1 -6}{1 +1 + 4} \cdot (1,1,-2) + \frac{2+1+3}{1+1+1} \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \frac{-3}{6} \cdot (1,1,-2) + \frac{6}{3} \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \frac{-1}{2} \cdot (1,1,-2) + 2 \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = (1 \cdot (- \frac{1}{2}),1 \cdot (- \frac{1}{2}),-2 \cdot (- \frac{1}{2})) + (1 \cdot 2 ,1 \cdot 2 ,1 \cdot 2 ) $$
$$ P_W(v) = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{2}{2}) + (2 ,2 ,2 ) $$
$$ P_W(v) = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1) + (2 ,2 ,2 ) $$
$$ P_W(v) = ( \frac{-1 + 2 \cdot 2}{2}, \frac{-1 + 2 \cdot 2}{2}, 1+2) $$
$$ P_W(v) = ( \frac{-1 + 4}{2}, \frac{-1 + 4}{2}, 3) $$
$$ P_W(v) = ( \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 3) $$
Ho così ottenuto la proiezione ortogonale del vettore sul sottospazio W.
