Il complemento ortogonale
Il complemento ortogonale ( o supplemento ortogonale ) è un sottospazio W* dello spazio vettoriale V che include i vettori ortogonali con tutti gli altri vettori w di un sottospazio vettoriale W.
Il supplemento ortogonale è indicato con il simbolo di una T rovesciata.
Se lo spazio vettoriale V è di dimensioni finite, i sottospazi vettoriali W* e W sono sottospazi supplementari tra loro.
Detto in altri termini, la somma diretta dei sottospazi W* e W eguaglia lo spazio vettoriale V.
Come calcolare i vettori del complemento ortogonale
Un vettore v di V appartiene al complemento ortogonale W* solo se v è un vettore ortogonale con tutti gli elementi della base BW = { w_1 ,..., w_n } del sottospazio vettoriale W.
Ciò equivale a risolvere un sistema di equazioni cartesiane.
$$ \begin{cases} <v,w_1> = c_{11} v_1 + ... + c_{1n} v_n = 0 \\ <v,w_2> = c_{21} v_1 + ... + c_{2n} v_n = 0 \\ ... \\\ <v,w_k> = c_{k1} v_1 + ... + c_{kn} v_n = 0 \end{cases} $$
Dove i coefficienti c sono gli elementi di ogni vettore w della base del sottospazio W.
$$ W = B \{ w_1, w_2, ... , w_k \} $$
Mentre il vettore v è un generico vettore dello spazio vettoriale V che può appartenere o meno al complemento ortogonale.
Nota. Le equazioni sono omogenee perché per essere ortogonale nei confronti del vettore w un vettore v deve avere il prodotto scalare <v,w>=0
Un esempio di calcolo
In uno spazio vettoriale V=R4 sul campo K=R, ho un sottospazio vettoriale W generato dalla seguente base:
$$ B_w = \{ w_1 , w_2 \} \\ w_1 = ( 1,1,1,1 ) \\ w_2 = ( 1,0,1,0 ) $$
Devo trovare i vettori v di V ortogonali con i vettori della base B
$$ v* = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} $$
Poiché i vettori della base sono due, questo vuol dire risolvere il seguente sistema.
$$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_1+x_3=0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} (-x_3)+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_1=-x_3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x_2=-x_4 \\ x_1=-x_3 \end{cases} $$
Ottengo così i vettori della base del complemento ortogonale W*
$$ v* = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = B_{W*} \{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \} $$
Tutti i vettori generati da questa base appartengono al complemento ortogonale
Esempio. Il vettore v(3,2,-3,-2) appartiene al complemento ortogonale $$ v = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} $$ perché è generato da una combinazione lineare di due numeri scalari (2,3) con la base del complemento ortogonale
