Come trasformare una base ortogonale in ortonormale
Qualsiasi base ortogonale può essere trasformata in una base ortonormale tramite un'operazione di normalizzazione.
La differenza tra basi ortogonali e ortonormali. La base ortonormale è una base ortogonale con vettori ortogonali a norma unitaria.
Come normalizzare una base ortogonale
Nello spazio vettoriale V=R2 su K=R, ho una base composta da due vettori.
$$ B = \{ v_1, v_2 \} $$ $$ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Si tratta di una base ortogonale perché il prodotto scalare dei vettori della base presi a coppia è uguale a zero.
$$ <v_1, v_2> = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0 $$
E' anche una base ortonormale?
Per verificare se è anche una base ortonormale devo verificare se il prodotto scalare dei vettori per se stessi è uguale a 1.
$$ <v_1, v_1> = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 + 1 = 2 \ne 1 $$ $$ <v_2, v_2> = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 1 + 1 = 2 \ne 1 $$
Quindi, la base B non è una base ortonormale.
Nota. Un altro modo per verificarlo è tramite la norma dei vettori. I due vettori non sono vettori a norma unitaria, perché la loro norma euclidea è diversa da 1 e da 0.
$$ ||v_1|| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \ne 1 $$ $$ ||v_2|| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2} \ne 1 $$
Come trasformare la base ortogonale in ortonormale?
Per trasformare la base ortogonale in una base ortonormale, devo normalizzare i suoi vettori.
Calcolo la norma euclidea dei vettori che compongono la base B.
$$ ||v_1|| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $$ $$ ||v_2|| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2} $$
Poi divido rispettivi vettori per la propria norma, ottenendo così i vettori normalizzati.
$$ v'_1 = \frac{v_1}{||v_1||}= \frac{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} }{ \sqrt{2} }= \begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{2} } \end{pmatrix} $$
$$ v'_2 = \frac{v_2}{||v_2||}= \frac{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} }{ \sqrt{2} }= \begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{2} \\ \frac{-1}{ \sqrt{2} } } \end{pmatrix} $$
Questi vettori sono gli elementi della base ortonormale B'
$$ B'={ v'_1 , v'_2 } $$
Verifica
Per controllare se B' è effettivamente una base ortonormale, calcolo il prodotto scalare e la norma dei due vettori normalizzati.
$$ <v'_1,v'_2> = 0 $$
Essendo il prodotto scalare uguale a zero, ho dimostrato che B' è una base ortogonale.
A questo punto calcolo le norme dei vettori.
$$ ||v'_1|| = 1 $$ $$ ||v'_2|| = 1 $$
Ora le norme dei vettori sono uguali a 1.
Pertanto, anche il prodotto scalare dei vettori uguali è uguale a 1.
$$ <v'_1,v'_1> = 1 $$ $$ <v'_2,v'_2> = 1 $$
Ho così dimostrato che la base ortogonale B' è anche di una base ortonormale.
E così via.
