La base ortogonale
Una base dello spazio vettoriale B{v,w} è detta base ortogonale se è composta da vettori ortogonali tra loro, ossia se il prodotto scalare dei vettori presi a coppia è uguale a zero. $$ <v,w>=0 \:\:\:\: \forall v,w $$
La relazione di ortogonalità tra i vettori deve valere a coppia, ossia prendendoli a due a due.
Esempio di base ortogonale
Questa base è un esempio pratico di base ortogonale perché è composta da vettori ortogonali tra loro.
$$ B = \{ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \} $$
$$ <v_1,v_2> = 2·(1) + (-1)·2 = 2 - 2 = 0 $$
Nota. Basta guardare la rappresentazione sul piano per accorgersi a colpo d'occhio della perpendicolarità dei due vettori.
La differenza tra base ortogonale e ortonormale
Una base ortogonale è detta base ortonormale se è composta da vettori ortogonali con norma unitaria ossia con prodotto scalare uguale a 1 o a 0.
Esempio
Questa base ortogonale è anche ortonormale
$$ B = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} $$
Perché il prodotto scalare dei vettori è uguale a zero se i vettori sono diversi tra loro.
$$ <v,w>= ( 1 \cdot 0 ) + ( 0 \cdot 1 ) = 0+0 = 0 $$
Il prodotto scalare è uguale a 1 se invece i vettori sono uguali
$$ <v,v>= ( 1 \cdot 1 ) + ( 0 \cdot 0 ) = 1+0 = 1 $$
$$ <w,w>= ( 0 \cdot 0 ) + ( 1 \cdot 1 ) = 0+1 = 1 $$
Come trasformare una base ortogonale in ortonormale
Qualsiasi base ortogonale può essere trasformata in una base ortonormale tramite la normalizzazione dei vettori.
Nota. Per un approfondimento vedi come trasformare una base ortogonale in base ortonormale.
