I sottoanelli

Dato un anello (R,+,*) un sottoanello (S,+,*) è un sottoinsieme non vuoto S dell'insieme R che soddisfa tutte le proprietà degli anelli rispetto alle stesse operazioni + e *.

Nel caso dei sottoanelli la prima operazione (addizione) deve formare un gruppo additivo (S,+) con il sottoinsieme S.

Come caprie se un sottoinsieme forma un sottoanello

Per verificare se il sottoinsieme S⊂R forma un sottoanello (S,+,*) dell'anello (R,+,*) mi basta verificare che (S,+) sia un gruppo.

Nota. La prima operazione degli anelli è detta "operazione additiva" (o addizione) anche se non è necessariamente l'addizione. Pertanto, spesso si afferma che (S,+) è un gruppo additivo. Essendo (R,+,*) un anello anche la struttura (R,+) è un gruppo additivo. Pertanto (S,+) è anche sottogruppo di (R,+).

Un esempio pratico

Considero l'anello formato dall'insieme dei numeri reali R con le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·)

$$ (R,+,·) $$

Devo verificare se l'insieme dei numeri interi Z forma un sottoanello (Z,+,·) dell'anello (R,+,·) rispetto alle stesse operazioni.

$$ (Z,+,·) $$

La prima condizione necessaria è soddisfatta perché Z è un sottoinsieme di R

$$ Z \subset R $$

A questo punto devo verificare se la struttura algebrica (Z,+,·) soddisfa le proprietà degli anelli

• L'insieme dei numeri interi Z è chiuso rispetto alle operazioni + e ·
• L'addizione soddisfa la proprietà commutativa nell'insieme dei numeri interi Z $$ \forall \ a,b \in Z \ \ \ \ a+b=b+a $$
• L'addizione soddisfa la proprietà associativa nell'insieme dei numeri interi Z $$ \forall \ a,b,c \in Z \ \ \ \ (a+b)+c = a+(b+c) $$
• Esiste l'elemento neutro dell'addizione nell'insieme Z. E' lo zero. $$ \forall \ a \ \in Z \ \ \ \ a+0 = 0+a = a $$
• Esiste l'elemento opposto (-a) dell'addizione di ogni elemento dell'insieme Z. $$ \forall \ a \ \in Z \ \ \ \ a+(-a) = (-a)+a = 0 $$
• La moltiplicazione soddisfa la proprietà associativa nell'insieme Z $$ \forall \ a,b,c \in Z \ \ \ \ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $$
• La moltiplicazione soddisfa la proprietà distributiva rispetto all'addizione nell'insieme Z $$ \forall \ a,b,c \in Z \ \ \ \ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c $$ $$ \forall \ a,b,c \in Z \ \ \ \ (a + b ) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $$

La struttura algebrica (Z,+,·) soddisfa tutte le proprietà degli anelli rispetto sia all'addizione che alla moltiplicazione.

Pertanto, la struttura algebrica (Z,+,·) è un sottoanello di (R,+,·)

Esempio 2

L'insieme dei polinomi P[x]={xⁿ+...+x=b} di qualsiasi grado n nel campo dei numeri reali R formano un anello (R,+,·) rispetto all'addizione e alla moltiplicazione.

$$ (P[x],+,·) $$

Il sottoinsieme P₀⊂P composto dai polinomi con il termine noto uguale a zero P₀[x]={x₂+...x=0} sono un sottoanello

$$ (P_0[x],+,·) $$

Un metodo di verifica più rapido

Dato un anello (R,+,*) e un sottoinsieme S di R, per capire se forma un sottoanello (S,+,*) verifico se soddisfa queste condizioni $$ \forall \ a,b \in S \ \ \ \ a-b \in S $$ $$ \forall \ a,b \in S \ \ \ \ ab \in S $$

Esempio

Considero l'anello (R,+,·) composto dall'insieme dei numeri reali R, dall'addizione e dalla moltiplicazione

$$ (R,+,·) $$

Verifico se il sottoinsieme dei numeri interi Z soddisfa le due condizioni

$$ Z \subset R $$

La prima condizione del metodo rapido è soddisfatta

Se prendo due numeri interi qualsiasi, la loro differenza a-b è un numero intero.

$$ \forall \ a,b \in Z \ \ \ \ a-b \in Z $$

Anche la seconda condizione è soddisfatta

Se considero due numeri interi qualsiasi, il loro prodotto è un numero intero.

$$ \forall \ a,b \in Z \ \ \ \ ab \in Z $$

Pertanto, l'isieme Z è un sottoanello (Z,+,·) dell'anello (R,+,·)

Dimostrazione. Per ipotesi considero vere le proposizioni $$ \forall \ a,b \in S \ \ \ \ a-b \in S $$ $$ \forall \ a,b \in S \ \ \ \ ab \in S $$ Dove S è un sottoinsieme di R ed R forma un anello (R,+,*) rispetto all'addizione e alla moltiplicazione. Da queste ipotesi iniziali deduco l'esistenza dell'elemento neutro dell'addizione nell'insieme S, perché se scelgo due elementi uguali a=b il risultato è 0 $$ a-b = 0 \ \ \ \ se \ a=b$$. Poiché esiste l'elemento neutro (0) in S, di conseguenza esiste anche l'elemento opposto di ogni elemento di S $$ 0-a = -a \in S \ \ \ \ \forall \ a \in S $$ Poiché esiste l'elemento opposto di ogni elemento di S, allora l'insieme S è chiuso rispetto alla somma $$ a-(-b) = a+b \in S \ \ \ \ \forall \ a,b \in S $$ Da queste informazioni deduco che è rispettata anche la proprietà associativa. Pertanto, la struttura (S,+) forma un gruppo additivo. Questo basta per affermare che la struttura (S,+,*) è un sottoanello di (R,+,*)

I sottoanelli banali

Esempio

Considero l'anello (R,+,·) composto dall'insieme dei numeri reali R, dall'addizione e dalla moltiplicazione

$$ (Z,+,·) $$

Il sottoinsieme S={0}⊂R forma un sottoanello banale (S,+,·) dell'anello (R,+,·)

$$ (S,+,·) $$

In effetti l'insieme S={0} soddisfa tutte le operazioni degli anelli

• L'insieme S={0} è chiuso rispetto alle operazioni + e · $$ 0 + 0 = 0 \in S $$ $$ 0 \cdot 0 = 0 \in S $$
• L'addizione soddisfa la proprietà commutativa nell'insieme S={0} $$ \forall \ a,b \in S \ \ \ \ a+b=b+a $$
• L'addizione soddisfa la proprietà associativa nell'insieme S={0} $$ \forall \ a,b,c \in Z \ \ \ \ (a+b)+c = a+(b+c) $$
• Esiste l'elemento neutro dell'addizione nell'insieme S={0}. E' sempre lo zero. $$ \forall \ a \ \in S \ \ \ \ a+0 = 0+a = a $$
• Esiste l'elemento opposto (-a) dell'addizione di ogni elemento dell'insieme S={0}. E' sempre lo zero. Se a=0, l'elemento opposto è -a=0 $$ \forall \ a \ \in S \ \ \ \ a+(-a) = (-a)+a = 0 $$
• La moltiplicazione soddisfa la proprietà associativa nell'insieme S={0} $$ \forall \ a,b,c \in S \ \ \ \ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $$
• La moltiplicazione soddisfa la proprietà distributiva rispetto all'addizione nell'insieme S={0} $$ \forall \ a,b,c \in S \ \ \ \ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c $$ $$ \forall \ a,b,c \in S \ \ \ \ (a + b ) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $$

Pertanto, il sottoinsieme S={0} forma un sottoanello banale (S,+,·) dell'anello (R,+,·) rispetto alle stesse operazioni.

Nota. Lo stesso posso dire per il sottoinsieme improprio S=R che coincide con l'insieme R. In questo caso l'insieme S e l'insieme R contengono gli stessi elementi. Quindi, se R forma un anello rispetto all'addizione e alla moltiplicazione, lo stesso deve accadere con l'insieme S=R.

E così via.