Isomorfismo tra anelli
Un isomorfismo tra due anelli A e A' è una applicazione biunivoca φ tale che $$ φ(a+b)=φ(a)+f(b) \ \ \ \ \forall \ a,b \ \in A $$ $$ φ(a \cdot b)=φ(a) \cdot f(b) \ \ \ \ \forall \ a,b \ \in A $$ Dove a,b sono due elementi dell'anello A, mentre φ(a+b) e φ(ab) sono due elementi dell'anello A'
In un isomorfismo i due anelli sono detti anelli isomorfi.
$$ A \simeq A' $$
Si tratta di una relazione di equivalenza tra le due strutture algebriche hanno le stesse proprietà algebriche.
In questi casi si dice che le due strutture algebriche appartengono alla stessa classe di isomorfismo.
Un esempio pratico
Considero l'insieme dei numeri complessi C e l'applicazione che trasforma un numero complesso z=a+bi nel suo coniugato z'
$$ z' = Re(z)-Im(z) \cdot i $$
Questa applicazione mette in relazione ogni elemento dell'insieme dei numeri complessi C con un altro elemento dell'insieme C ed è biunivoca.
Pertanto, l'applicazione crea un isomorfismo tra l'insieme dei numeri complessi e se stesso.
Ad esempio, considero due elementi dell'insieme C
$$ z_1 = 3 + 4i $$
$$ z_2 = 5 - 2i $$
L'applicazione individua i rispettivi numeri coniugati
$$ z'_1 = Re(z_1)-Im(z_1) \cdot i = 3 - 4 \cdot i = 3-4i$$
$$ z'_2 = Re(z_2)-Im(z_2) \cdot i = 5 - (-2) \cdot i = 5+2i $$
E viceversa, a partire dai numeri complessi z'1=3-4i e z'2=5+2i posso trovare i loro coniugati.
$$ z_1 = Re(z'_1)-Im(z'_1) \cdot i = 3 - (-4) \cdot i = 3+4i$$
$$ z_2 = Re(z'_2)-Im(z'_2) \cdot i = 5 - 2 \cdot i = 5-2i $$
La corrispondenza biunivoca vale anche per la somma dei due numeri complessi z1+z2
$$ z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (5-2i) = 3+5+4i-2i = 8 + 2i $$
$$ (z_1 + z_2)' = Re(z_1+z_2)-Im(z_1+z_2) \cdot i = 8 - 2 \cdot i = 8-2i$$
$$ z_1 + z_2 = Re[(z_1+z_2)']-Im[(z_1+z_2)'] \cdot i = 8 - (-2) \cdot i = 8+2i$$
La corrispondenza biunivoca vale anche per il prodotto dei due numeri complessi z1z2
$$ z_1 \cdot z_2 = (3+4i) \cdot (5-2i) = 15-6i+20i-8i^2 = 15+14i-8 \cdot(-1) = 23+14i $$
$$ (z_1 \cdot z_2)' = Re(z_1 \cdot z_2)-Im(z_1 \cdot z_2) \cdot i = 23 - 14 \cdot i = 23-14i $$
$$ z_1 \cdot z_2 = Re[(z_1 \cdot z_2)']-Im[(z_1 \cdot z_2)'] \cdot i = 23 - (-14) \cdot i = 23+14i$$
E così via.
