Ideali di un anello

Un ideale di un anello (R,+,*) è un sottoinsieme I∈R che forma un sottogruppo additivo (I,+) di R tale che per ogni i∈I e ogni r∈R vale $$ i \cdot r \in I $$ oppure $$ r \cdot i \in I $$ Nel primo caso (i·r ∈ I) si parla di ideale destro, nel secondo caso (r·i ∈ I) di ideale sinistro.

Quando un ideale è sia destro che sinistro è detto ideale bilatero.

Se l'anello (R,+,*) è un anello commutativo, si parla semplicemente di ideale.

Nota. Un ideale destro o sinistro di un anello R è anche un sottoanello di R. Non vale però il contrario. Un sottoanello dell'anello R non è detto che sia anche un ideale destro o sinistro di R.

Un esempio pratico

Esempio 1

Considero l'anello dei numeri interi

$$ (Z,+,*) $$

Il sottoinsieme P⊂Z composto dai numeri pari è un ideale dell'anello commutativo (Z,+,*) perché il prodotto di un numero pari per un qualsiasi altro numero intero è sempre un numero pari

$$ \forall \ p \in P \ , \ z \in Z \ \Rightarrow p \cdot z = z \cdot p \in P $$

Inoltre, l'insieme dei numeri pari P forma un sottogruppo additivo (P,+) dei numeri interi Z, perché è chiuso rispetto all'addizione, soddisfa la proprietà associativa, esiste l'elemento neutro (0) e ogni elemento p∈P ha un elemento inverso (-p).

Esempio 3

Qualsiasi sottoinsieme nZ∈Z dove n è un numero naturale (n∈N) è un ideale dell'anello (Z,+,*).

Ad esempio, se considero n=2

$$ 2 \cdot Z = \{ ... -8, -6, -4, -2, \ 0, \ 2, \ 4, \ 6, \ 8, \ ... \} $$

Il sottoinsieme 2Z è un gruppo additivo (2Z,+) perché soddisfa la proprietà associativa, include l'elemento neutro dell'addizione (0) e ogni elemento x∈2Z ha un opposto -x∈2Z.

Inoltre, presi due elementi qualsiasi di 2Z e Z il loro prodotto appartiene a 2Z

$$ \forall \ x \in 2Z \ , \ z \in Z \ \Rightarrow x \cdot z = z \cdot x \in 2Z $$

Quindi, il sottoinsieme 2Z è un ideale dell'anello dei numeri interi (Z,+,*).

Esempio 3

L'insieme delle matrici quadrate con n righe e l'ultima colonna nulla formano un ideale sinistro nell'anello di tutte le matrici quadrate con n righe.

Non formano, invece, un ideale destro.

Ad esempio, considero le matrici quadrate di dimensione n=2 $$ M_2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$ e il sottoinsieme di matrici quadrate di dimensione n=2 con l'ultima colonna nulla $$ M'_2 = \begin{pmatrix} e & 0 \\ f & 0 \end{pmatrix} $$ Il prodotto M₂M'₂ è una matrice quadrata appartenente a M'₂. Quindi, M'₂ è un ideale sinistro. $$ M_2 \cdot M'_2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e & 0 \\ f & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot e + b \cdot f & a \cdot 0 + b \cdot 0 \\ c \cdot e + d \cdot f & c \cdot 0 + d \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae + bf & 0 \\ ce + df & 0 \end{pmatrix} $$ Il prodotto M'₂M' è una matrice quadrata NON appartenente a M'₂. Quindi, M'₂ non è un ideale destro. $$ M'_2 \cdot M_2 = \begin{pmatrix} e & 0 \\ f & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e \cdot a + 0 \cdot c & e \cdot b + 0 \cdot d \\ af \cdot a + 0 \cdot c & f \cdot b + 0 \cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & eb \\ af & bf \end{pmatrix} $$

Esempio 4

Considero l'insieme dei polinomi di ogni ordine K[x] con coefficienti reali K=R

L'insieme dei polinomi K₀(x) con termine noto uguale a zero è un ideale dell'anello (P,+,*) perché:

1. L'insieme K₀[x] è un sottoinsieme di K[x] $$ K_0[x] \subset K[x] $$
2. Il sottoinsieme K₀[x] forma un gruppo additivo (K₀,+) in quanto soddisfa la proprietà associativa, include l'elemento neutro dell'addizione P(0)=0 ossia il polinomio nullo e ogni elemento di K₀ ha un elemento opposto in K₀.
3. Il prodotto di un polinomio qualsiasi di K[x] per un polinomio di K₀[x] è a sua volta un polinomio di K₀[x]

   Esempio. Considero un polinomio di K[x] $$ x^2 + 1 $$ e un polinomio di K₀[x] ⊂ K[x] $$ x^2 + x $$ Il loro prodotto appartiene a K₀[x] $$ (x^2 + 1) \cdot (x^2 + x) = x^4 + x^3 + x^2 + x \ \in \ K_0[x] $$

Quindi, il sottoinsieme K₀(x) è un ideale dell'anello (P,+,*)

Gli ideali banali

Ogni anello (R,+,*) ha sempre due ideali banali: il sottoinsieme che contiene solo l'elemento neutro dell'addizione {0} e il sottoinsieme uguale a R.

Esempio

Considero l'anello commutativo dei numeri reali

$$ (R,+,*) $$

Gli ideali banali dell'anello sono

• Il sottoinsieme R⊆R è un ideale dell'anello (R,+,*) perché forma un gruppo additivo (R,+) e il prodotto di due numeri reali qualsiasi è a sua volta un numero reale.
• Il sottoinsieme {0}⊆R è un ideale dell'anello (R,+,*)

Osservazioni

Alcune osservazioni e note sugli ideali

• Il nucleo (Ker φ) di un omomorfismo tra anelli (R,+,*) e (R',+,*) è un ideale bilatero.

  Dimostrazione. Se moltiplico un qualunque elemento r∈R per un elemento del nucleo k∈Ker_φ, da destra o da sinistra, ottengo sempre un altro elemento del Ker_φ. $$ φ(k) \cdot \phi(r) = 0 \cdot φ(r) = 0 $$ $$ \phi(r) \cdot φ(k) = φ(r) \cdot 0 = 0 $$ Dove 0 è un elemento del Ker_φ $$ 0 \in \ Ker \ φ $$.

E così via.