Esercizio sugli anelli 2

Devo capire se l'applicazione f(x)=|x| è un omomorfismo tra gli anelli (Z,+,*) e (Z',+,*) dove Z=Z'

Per prima cosa verifico se l'applicazione soddisfa la proprietà del prodotto degli omomorfismi

$$ f(a \cdot b)=f(a) \cdot f(b) $$

$$ |a \cdot b|= |a| \cdot |b| $$

Il prodotto a*b ha lo stesso valore assoluto.

Nota. A sinistra il prodotto è sempre positivo per via del modulo. A destra, il prodotto tra due moduli è sempre positivo.

Ora verifico se l'applicazione soddisfa anche la proprietà della somma degli omomorfismi

$$ f(a + b)=f(a) + f(b) $$

$$ |a + b|= |a| + |b| $$

In questo caso la proprietà non è soddisfatta se i due numeri sono discordi, ossia hanno segno diverso.

Ad esempio, se a=2 e b=-3

$$ |2 + (-3)|= |2| + |-3| $$

$$ |-1|= 2 + 3 $$

$$ -1 \ne 5 $$

Quindi, l'applicazione f(x)=|x| non è un omomorfismo tra gli anelli (Z,+,*) e (Z',+,*)

E così via.