Esempio di trasformata di Laplace
Ho una funzione con il seguente grafico e devo trovare la trasformata di Laplace del segnale.
Per trovare la soluzione, scompongo il grafico in tre segnali distinti
- Un gradino unitario all'inizio (t=0)
- Una rampa con pendenza decrescente -1/τ nell'intervallo (0,t)
- Una rampa con pendenza 1/τ nell'istante t=τ
Poi calcolo la trasformata di Laplace di ogni singola componente
- La trasformata di Laplace del gradino unitario è $$ \frac{1}{s} $$
- La trasformata di Laplace della rampa decrescente è $$ - \frac{1}{τs^2} $$
- La trasformata di Laplace della rampa finale è $$ \frac{1}{τs^2} e^{-τs} $$
Per la proprietà della linearità la somma delle trasformate dei tre segnali è uguale alla trasformata di Laplace della funzione.
$$ F(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{τs^2} + \frac{1}{τs^2} e^{-τs} $$
$$ F(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{τs^2} ( 1 - e^{-τs} ) $$
Ho trovato la trasformata di Laplace del grafico.
E così via.
